基于 Abaqus/CAE 的紧凑拉伸试样断裂力学研究

摘要

Abaqus/CAE 提供了面向断裂力学分析的建模与后处理功能，让用户可以交互式地调用 Abaqus/Standard 中的围线积分（contour integral）断裂力学技术。其中包含多种断裂专用工具：创建缝裂纹（seam crack）、定义奇异性、选择裂纹前缘与裂纹尖端、定义 q 向量（即裂纹前缘法向）以及创建聚焦网格等。借助这些工具，可以建立模型来估算 J 积分、应力强度因子和裂纹扩展方向。本文对一个标准化的紧凑拉伸试样建模，并将 J 积分结果与美国材料与试验协会（ASTM）相关标准的计算结果以及实验室测试方法的结果进行对比。结果表明，Abaqus 的计算值与实验结果高度吻合。

Abaqus 核心功能与优势

• 二维、三维模型均可交互式定义缝裂纹、裂纹前缘和 q 向量。
• 自动生成聚焦网格，可交互控制单元退化方式与中边节点位置，便于模拟裂纹尖端奇异性。
• 可估算 J 积分、C_t 积分、T 应力、应力强度因子（K_I、K_II、K_III）以及裂纹扩展方向。
• 可可视化每条围线所用的节点集，并绘制每条围线结果的历程曲线。

背景

紧凑拉伸（Compact Tension，CT）试样已被 ASTM 标准化，用于通过实验测定金属材料的断裂韧性。

图 1 是 CT 试样试验装置的示意图：试样由一套夹具（clevis）和销钉（pin）夹持。带预制裂纹的试样以受控速率加载，同时记录载荷–位移数据。对实验数据进行分析，即可用应力强度因子 K 或 J 积分来表征材料的断裂韧性。

在 6.5 版本之前，Abaqus/Standard 的断裂力学功能无法交互式使用；如今 Abaqus/CAE 内置了断裂专用工具，使断裂力学模型的开发效率大大提高。本文将展示如何用 Abaqus/CAE 与 Abaqus/Standard 对一个低合金铁素体钢 CT 试样开展断裂力学分析，并把计算得到的 J 积分值与标准解析方法的结果进行比较。

有限元分析

所研究试样的尺寸见图 2，初始裂纹长度（图中未标出）为 5 mm。

试样材料的主要参数如下：

该材料的真实应力–对数应变曲线见图 3。

Abaqus 中采用二维平面应变模型进行分析，加载销钉建模为刚体。通过对销钉施加竖向位移来加载试样，销钉其余方向的运动均被约束。销钉与试样之间定义了采用有限滑移（finite-sliding）公式的面–面接触。

分析共设两个分析步：

1. 第一步：对销钉施加一个很小的竖向位移（1×10⁻⁵ mm），使销钉与试样之间建立接触；
2. 第二步：对销钉施加受控的位移载荷。

在 Abaqus/CAE 中定义模型

分区几何与载荷线位移

模型的分区几何见图 4。后处理所需的载荷线位移，在图中黄色圆点标记的位置读取。

用缝（seam）引入裂纹

图 4 中的粗黑线即为试样裂纹。在 Abaqus/CAE 的 Interaction（相互作用）模块中，裂纹以“缝”的方式引入模型。所谓缝，在二维部件中是一条边，在实体部件中是一个面，它在分析开始时处于闭合状态，但在分析过程中可以张开。划分网格时，Abaqus/CAE 会沿缝线布置相互重合的重复节点。

定义裂纹扩展方向（q 向量）

在裂纹编辑器（图 5）中，用 q 向量指定虚拟裂纹扩展方向。本模型中，q 向量以裂纹尖端为起点、以图 4 中的红点为终点，得到的 q 向量以红色显示。裂纹扩展方向也可以通过裂纹平面的法向来指定。

裂纹尖端奇异性与聚焦网格

对于尖锐裂纹，裂纹尖端处的应变场是奇异的。在小应变分析中计入裂纹尖端奇异性，可以提高 J 积分、应力强度因子以及应力、应变计算的精度。

几何分区由以裂纹尖端为圆心的圆形线条定义（图 4），这种分区策略便于生成聚焦网格。裂纹尖端使用一圈退化的二次四边形单元划分网格——通常采用二阶单元来获得裂纹尖端的网格奇异性。如图 6 所示，奇异性的定义同样在裂纹编辑器中指定。

通过设置中边节点参数和裂纹尖端单元退化方式，可以定义不同类型的奇异性。本分析中，中边节点参数取 0.25：这一设置会把与退化边相邻的单元边上的中边节点移到单元边的 1/4 点处。在裂纹尖端，单元边按“单节点”（single-node）退化方式收缩。这两项设置组合起来，便形成应变的 1/√r 奇异性。

圆形分区区域使用“扫掠网格”（swept meshing）技术划分，这一方法可以保证网格规则且聚焦。由于定义了缝和奇异性，Abaqus/CAE 会自动创建带有正确连接关系的退化单元。

模型其余部分用“中轴”（medial axis）算法自由划分网格，基于边的种子布置工具则有助于在裂纹尖端周围形成聚焦网格。

本次分析所用网格见图 7。按照裂纹编辑器中的设置，裂纹尖端单元采用“单节点”退化方式，即通过重复节点来定义收缩后的单元边。

结果与结论

在第二个分析步中，共请求输出 10 条围线的围线积分结果。在 Interaction 模块中定义裂纹时，必须指定裂纹前缘和裂纹尖端。裂纹前缘以内的所有单元，再加上其外侧的一层单元，用来确定第一条围线积分；在计算后续围线时，Abaqus 会自动在前一条围线所用的单元组外再增加一层单元。

Abaqus 得到的 J 积分结果，将与两种方法对比：一是按 ASTM 标准方法计算的结果，二是参考文献 1 所用的实验室测试方法。这两种方法都需要用到销钉反力随载荷线位移变化的历程，并且要对每个记录到的载荷线位移增量计算该曲线下的面积。反力–载荷线位移曲线及面积的计算，可以直接用 Abaqus/CAE 可视化模块中的 X–Y 数据工具完成。

ASTM 方法计算 J 积分

J 积分的 Abaqus 估算值，首先与按 ASTM 标准 E1737-96 和 E399-90（参考文献 3、4）的方法所得结果比较，所用公式见文末附录 A。

图 8 给出销钉反力随载荷线位移的变化。对图 8 的曲线，在每个载荷线位移处计算其下的总面积（共计算 10 个值），即得到图 9。图 9 的曲线表示张开裂纹所做的总功，它等于弹性功与塑性功之和。

ASTM 计算需要用到塑性功，将总功减去弹性功即可得到。

小应变下 J 积分的实验室测量方法

该方法需要针对不同长度的缝裂纹重复进行 Abaqus 分析。本研究在 5 mm 的基础上，又补充分析了 3 mm 和 7 mm 两种裂纹长度。

对 3、5、7 mm 三个模型，分别求出每个载荷线位移增量下反力/载荷线位移曲线下的面积，并绘制成图 10 中的曲线；然后在缝裂纹长度 5 mm 处对这些曲线求导，即可得到 J 积分值。上述计算同样使用 Abaqus/CAE 可视化模块中的 X–Y 数据运算完成。

Abaqus 小应变分析与 ASTM 标准、实验室方法的对比

如表 1 所示，Abaqus 的结果与按 ASTM 标准计算的结果以及参考文献 1 的方法所得结果高度吻合。

表 1　J 积分值对比

图 11 绘出了各种分析方法得到的 J 积分值。通常，第一条围线的 J 积分会被忽略，原因是裂纹尖端处应力、应变的数值存在不准确性；这种不准确性的影响在小应变问题中比有限应变问题中要小。

关于奇异性：本文分析的是弹塑性材料。如图 3 所示，该材料并非理想塑性，而是带有硬化。这类材料的裂纹尖端奇异性介于线弹性材料（具有 1/√r 奇异性）与理想塑性材料（具有 1/r 奇异性）之间。

Abaqus 有限应变分析与 ASTM 标准的对比

第二组分析考虑了有限应变，并将裂纹前缘区域选得比裂纹尖端周围的塑性区更大。具体做法是：在 Interaction 模块创建裂纹时，把紧邻裂纹尖端的圆形分区区域选作第一条围线区域。此时 Abaqus 的结果只与 ASTM 计算结果比较，因为后者只取决于试样的载荷–位移行为，与裂纹尖端的应变大小无关。

第二组分析的结果见图 12。可以清楚地看到，Abaqus 结果与 ASTM 标准结果非常吻合。本例中，计入有限应变效应只让结果发生了轻微变化，这是因为本分析中的非线性高度集中在裂纹尖端，并不影响整体行为。

小结

二维分析对奇异性的强弱相对不敏感，只要裂纹尖端周围使用了足够细的网格，并评估了足够多的围线即可。即使采用 1/√r 奇异性，仍然可以得到准确的远场 J 积分值，Abaqus 结果与解析结果之间良好的相关性就是证明。

附录 A　J 积分的计算公式

J 积分根据载荷与载荷线位移曲线计算。首先把 J 写成弹性分量与塑性分量之和：

J = J_el + J_pl

即：

J = K²(1 − ν²)E + η A_plB(W − a)

其中弹性分量和塑性分量分别为：

J_el = K²(1 − ν²)E 　　且　　 J_pl = η A_plB(W − a)

其中应力强度因子 K 为：

K = PB√Wf(a/W)

对于紧凑拉伸试样，几何函数 f(a/W) 为：

f(a/W) = 2 + a/W(1 − a/W)^3/2 × [
0.886 + 4.64(a/W) − 13.32(a/W)²
+ 14.72(a/W)³ − 5.60(a/W)⁴]

并且：

η = 2 + 0.522 × bWb = W − a

• A_pl
• 塑性功，由载荷–载荷线位移曲线得到
• W
• 载荷作用点到图 4 中红点标记位置之间的距离
• a
• 载荷线到裂纹尖端之间的距离
• B
• 试样厚度

参考文献

1. Anderson, T. L., “Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications,” CRC Press, 1991.
2. Brocks, W., and I. Scheider, “Numerical Aspects of the Path-Dependence of the J-integral in Incremental Plasticity—How to calculate reliable J-values in FE an alyses,” GKSS FORSCHUNGSZENTRUM internal report—GKSS/WMS/01/08, 2001.
3. ASTM Standards, “Test Method for J-integral characterization of Fracture Toughness, ASTM E1737-96,” American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1996.
4. ASTM Standards, “Standard Test Method for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic Materials, ASTM E399-90,” American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1997.

Abaqus 参考资料

有关本文所涉及的 Abaqus 功能，更多信息请参阅以下 Abaqus 6.13 文档：

1. Abaqus/CAE User’s Guide —— “Fracture mechanics”，第 31 章
2. Abaqus An alysis User’s Guide —— “Contour integral evaluation”，第 11.4.2 节

关于 SIMULIA：SIMULIA 是达索系统（Dassault Systèmes）旗下品牌，提供可扩展的“真实仿真”（Realistic Simulation）解决方案组合，包括面向统一有限元分析的 Abaqus 产品套件、用于应对复杂工程问题的多物理场解决方案，以及用于管理仿真数据、流程与知识产权的生命周期管理方案。SIMULIA 总部位于美国罗得岛州普罗维登斯，在普罗维登斯和法国韦利济设有研发中心，并通过全球 30 多个区域办事处和经销商网络提供销售、服务与支持。详见 www.simulia.com。

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原文版权所有 © 2007 Dassault Systèmes。本文根据 Abaqus Technology Brief TB-04-FMCAE-1 整理翻译，图表均截取自原文。