离散随机变量及其概率分布
随机变量的本质
在大多数工程和科学应用中，随机事件的结果是非数值型。为方便进一步研究，将结果用实数轴 上的数值表示是必要的。建立这种映射或转换的函数称为随机变量。形式上讲，随机变量被定义为一个函数，函数的本质就是一种映射，它为随机事件的每个可能结果分配一个实数值。
随机变量通常分为两类：离散型和连续型。
离散型随机变量只能取不同的、通常是整数的值；例如，掷一枚骰 子，出现的结果只能是1到6之间的整数，因此它是离散型随机变量。某一河流某点每年洪水次数的取值也只能是整数，所以它也是离散型随机变量。连续型随机变量的取值则在连续的数值范围内；例如，机器零件的寿命理论上取值是 ，是一个连续型随机变量。由于这两类随机变量的概率计算方式不同，所以要对它们加以区分。
如上所述，一个离散的随机变量是一个函数，它将样本空间的所有结果映射到一个离散的实数集 合，称状态空间( )，对于结果 ，以及 ， 是随机变量的一个状态。如图1所示，投掷一枚均匀硬币两次，考察正面向上的数量。由四个可能的结果组成样本空间： 。
▲图1
令 为“正面出现的次数”。这是一个可能取值为 的随机变量。作为函数， 给结果 赋值为2，给 和 赋值为1，给 赋值为0。即 ， ， 。
令 为“反面出现的次数”。用 表示的话， 。换句话说， 和 是同一个随机变量： 对所有 成立。 因此，随机变量 为实验的每个可能结果 赋予一个数值 。
离散型随机变量的分布
给定一个随机变量，我们希望能用概率的语言来描述它的行为。例如，我们可能想回答关于该随机变量落入给定范围的概率问题：如果 是随机选择的市民的年收入，那么 超过十万元的概率是多少？
离散型随机变量的概率由概率质量函数（probability mass function, PMF）给出，它指定了离散型随机变量 等于某个状态值 的概率，记为：
对于所有的状态变量 ， ，且
在写 时，我们用 来表示一个事件（event），它由所有被 赋予数值 的结果 组成。这个事件也写作 ；形式上， 定义为 ，但写作 更简短直观。回到上面抛硬币的问题，如果 是正面朝上的次数，那么 由样本结果 和 组成，这是 赋予数值1的两个结果。由于 是样本空间的子集，它是一个事件。因此讨论 是有意义的，更一般地讲，谈论 也是有意义的。如果 不是事件，那么计算其概率就没有意义！写 " " 是没有意义的；我们只能取一个事件的概率，而不能取随机变量的概率。
继续抛硬币的问题。在这个例子中，我们接下来将求出PMF。以下是我们定义的随机变量及其PMF：
定义 为正面朝上的次数。由于 发生时 等于0， 或 发生时等于1， 发生时等于2， 的PMF是函数 ，由下式给出
显然， 。且对所有其他 值， 。
定义 为反面朝上的次数。如上推理，或利用
的PMF是
且对所有其他 值， 。
累积质量函数(cumulative mass function)用于表示随机变量 小于或等于 的概率。
根据定义，对于所有小于状态空间中最小值 的值，累积概率定义为零；对于所有大于状态空间中最大值 的值，累积概率定义为1。
投掷一枚均匀硬币三次,记随机变量 表示记录的正面(H)数量。X的可能取值为 。该实验的样本空间是三次抛硬币所有可能结果的集 合。由于每次抛掷的结果要么是正面(H)，要么是反面(T)，因此通过直接枚举，样本空间是由8个元素组成的集 合 。 的概率质量函数(PMF)和累积分布函数(CDF)如图2所示。
状态空间中的最大值为3，那么 .
▲图2
