用高斯积分法计算结构位移

高斯积分是常见的数值积分方法，是有限元计算中常用的数学工具。对于简化积分运算大有裨益。现在将其推广到结构力学，在计算结构位移时，用高斯积分来替代图乘法，同时用Python的sympy模块编程计算。

一、核心思路

在结构力学中，计算梁的挠度时，其莫尔积分公式为：

其中：

• •     --实际荷载引起的弯矩方程
• •     -- 虚拟状态施加单位力引起的弯矩方程
• •     --截面抗弯刚度
• •     --梁的长度

当   和   是复杂函数时，就需要用数值积分，而高斯积分是其中最精确、最高效的方法之一。

二、高斯积分法

高斯积分的基本思想是：在积分区间内，精心选择一些非等距的积分点（高斯点），用这些点上的函数值乘以相应的权重系数后求和，来近似积分值。

对于一个在标准区间    上的积分，其公式为：

其中：

• •     --高斯积分点的个数
• •     --第      个高斯点的坐标（在区间      内）
• •     --第     个高斯点对应的权重
• •     --被积函数

重要特性：对于    个高斯点，该方法可以精确积分最高   次的多项式。

根据被积函数    的多项式次数，选择足够的高斯点数    以保证精度。如果    和    是多项式，其乘积也是多项式，可以选择能精确积分的    值。常用    或    已能满足大部分工程精度。

常用高斯点与权重表（     和     ）：

用高斯积分法计算位移的步骤：

1. 1. 坐标变换
   将积分区间从物理坐标      映射到自然坐标     。    

   于是位移积分变为：
2. 2. 定义被积函数
   令：    

   这里        和        是实际弯矩和单位弯矩方程用自然坐标        表示的函数。

3. 3. 计算积分近似值
   利用公式：    

三、实例应用

一根简支梁，长   ，全跨受均布荷载   ，  。用高斯积分法求跨中C点的竖向位移。

1. 1. 建立弯矩方程 (以左端A为原点)
• • 实际荷载弯矩      ：       
• • 虚拟状态的单位荷载弯矩       (在跨中C点加竖直向下的单位力1)：    

  由于对称，我们可积分一半长度（0到2）再乘以2。
2. 2. 坐标变换 (对左半段     )
• • 区间长度       
• • 变换：       ，       
• • 在左半段，      
3. 3. 定义被积函数 (对左半段)    
4. 4. 选择       高斯积分

被积函数最高次为3次，故选择2个高斯点。
python代码

  import sympy as sp

x, EI, xi, L1, w = sp.symbols('x EI xi L1 w')

Mx = 20*x - 5*x**2
mx = 0.5*x
f_x = (L1/(2*EI)) * Mx * mx * w  # 被积函数

f_xi = f_x.subs( x, L1/2 * (1 + xi) )  # 将 x 用xi替换

# Gauss-Legendre 积分点（-0.57735 ≈ -1/√3, 1/0.57735 ≈ 1/√3）
points = [-0.57735, 0.57735]
weight = [1.0, 1.0]

delta = 0
for i in range(2):    
    # 同时代入当前积分点的 xi 和权重 w
    delta += f_xi.subs({ xi: points[i],  w: weight[i]} )

r = delta.subs({EI: 1.6e4, L1: 2})
2*r #对称性，左右半跨结果一样，故乘以2