干货 | 一文读懂内力、应力、位移与应变

在材料力学中，无论多复杂的结构分析与强度计算，其底层逻辑都建立在四个核心物理量之上：内力、应力、位移、应变。

一、 内力与截面法（Section Method）

1. 什么是内力？

• 外力：外界施加给构件的荷载（如重力、风载、约束反力等）。          
• 内力（附加内力）：构件受外力作用发生变形后，内部相邻微粒间相互作用力的改变量。材料力学研究的内力，本质上指的就是这个附加内力。

2. 核心求解工具：截面法

为了将隐蔽在构件内部的内力显露出来，力学中使用截面法。其逻辑可总结为：截、代、平 三步：

1. 截（Cut）—— 假想切开          
在需要求解内力的目标截面处（通常为横截面），假想用一个平面将杆件一分为二。

2. 代（Replace）—— 内力代替外力          
任取截开后的一半作为研究对象，舍弃另一半。舍弃部分对留存部分的作用，用作用在截面上相应的内力（力或力偶）代替。

3. 平（Equilibrium）—— 建立平衡方程          
对保留部分建立空间力系平衡方程，求出未知内力。

3. 内力的六个基本分量与基本变形

根据连续性假设，截面上分布着连续的内力系。将该力系向截面形心简化，得到一个主矢与一个主矩。建立空间直角坐标系（x 轴垂直于截面，y、z 轴平行于截面），可分解出 6 个内力分量：

注：工程计算中所求的“内力”，本质上是截面上分布内力的合力或合力矩。

二、 应力（Stress）：内力的分布集度

内力是截面上的总效应，无法描述截面上某一点的受力剧烈程度。为了精确评估结构是否破坏，则引入点概念——应力。

1. 应力的微积分定义

在截面某点附近取微面积 ΔA，设其上内力合力为 ΔF：          
• 平均应力：pm = ΔF / ΔA          
• 全应力（总应力 p）：平均应力的极限，即：          

p = lim (ΔA → 0) [ ΔF / ΔA ] = dF / dA

2. 全应力的正交分解

全应力 p 是矢量，其方向与截面法线成任意夹角。为了计算方便，通常将其沿截面法线与切线分解：          
• 正应力 (σ)：垂直于截面的分量，试图拉开或压紧截面。          
• 切应力 (τ)：平行 / 相切于截面的分量，试图使截面发生错动。          
• 几何矢量关系：p = √( σ² + τ² )          

单位说明：Pa (N/m²)；工程中常用 MPa (1 MPa = 1 N/mm²) 或 GPa。

三、 位移、变形与应变

外力作用下，构件几何状态的变化可分为：宏观位置改变与微观局部形变。

1. 位移（Displacement）

描述变形前后，构件上点或截面位置的变化。          
• 线位移：截面形心或某点在空间中的绝对距离变化（如悬臂梁自由端下沉量 f）。          
• 角位移：截面法线偏转的角度（如悬臂梁自由端的截面转角 θ）。

2. 变形（Deformation）

构件在外力作用下，整体尺寸和形状的改变。

3. 应变（Strain）：变形的程度

与应力类似，应变也是针对某点而言的度量，用以消除构件尺寸对变形大小的影响。

① 线应变 (ε) —— 度量“尺寸 / 长度”改变          
在点附近沿某方向取微段 Δx，变形后变为 Δx + Δs，则极限定义为：          
ε = lim (Δx → 0) [ Δs / Δx ] = ds / dx          
物理意义：单位长度的伸长或缩短量（无量纲）。

② 角应变 / 切应变 (γ) —— 度量“形状 / 角度”改变          
定义为构件内某点处原本相互垂直的两个线段，在变形后直角夹角的改变量：          
γ = π/2 - θ'          
关键判别：若微元体仅产生平移或刚体旋转，直角角度保持 90°（未发生改变量），则 γ = 0。只有夹角发生改变，才代表材料内部产生了剪切应变。

四、 物理量映射表

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