应变的度量
几何非线性问题有两种描述格式:完全拉格朗日格式(Total-Lagrangian，TL)和更新拉格朗日格式(Updated-Lagrangian，UL)。在完全拉格朗日格式中，所有静力学和运动学物理量总是定义于初始构型(也叫参考构型)，即在整个分析过程中参考构型保持不变;而在更新拉格朗日格式中，所有物理量参考于每一载荷增量或时间步长开始时的构型，即在分析过程中参考构型是不断更新的。拉格朗日(Lagrangian)应变定义在初始构型下，欧拉(Eulerian)应变定义于当前构型下。
拉格朗日(Lagrangian)应变
从参考构型出发，通过分析向量 的长度平方变化(如图1所示)，
▲图1
定义拉格朗日（Lagrangian）或格林（Green）应变张量 ：
代入式(1)可得长度平方变化的表达式：
用位移梯度表示拉格朗日应变。将变形梯度与位移梯度的关系 代入 ，展开后可得：
分量形式为：
注意：无论哪种形式，拉格朗日应变都是对称二阶张量，即 。
欧拉(Eulerian)应变
重复上述步骤，但这次使用当前构型（而非参考构型）
其中， 是空间变形梯度张量。
定义欧拉应变张量 为：
代入式(6)可得长度平方变化的表达式：
我们定义空间位移梯度张量 为：
利用链式法则，位移梯度满足 ，因此 。将这些结果代入欧拉应变的定义，可得用空间位移梯度表示的欧拉应变：
分量形式为：
与拉格朗日形式类似，欧拉应变也是对称二阶张量，即 。
例子1🌰
如图2所示，边长为 的立方体产生变形
▲图2
其中 为常数，确定立方体对角线 的长度平方差 。
从映射关系直接可知，原点 保持不动，原本在点 的质点分别移动到点 。因此，平行于 平面内的质点仍留在这些平面内，正方形面 变为上述的平行四边形 。
变形梯度
参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：
参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：
参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：
例子2🌰🌰
如图3是一根初始长度为 ，截面积为 的杆拉伸到长度为 ，截面积为 ，从初始构型到当前构型的简单映射
▲图3
轴向拉格朗日应变
轴向欧拉应变
除此之外，还有工程(名义)应变，对数(真实)应变等等。
