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基于流体力学复习数学：微分与导数

驭风之道

4月前浏览612

1 微分和导数的定义

1.1 微分

微分（differential）表述了变量的变化值为无穷小（infinitesimal）的极限情况。对于任意变量 x，其微分记法为 dx 。

微分定义可采用极限进行表述：

latex: dx = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x

若变量 y 和 x 之间为函数关系：

latex: y=f(x)

则因变量 y 的微分为：

latex: dy = \lim_{\Delta y \to 0} \Delta y = \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right) \cdot dx = \frac{dy}{dx} \cdot dx

多元函数中，多个自变量对因变量的影响均需要考虑，由此提出了全微分（total differential）概念。

对于多元函数：

latex: y = f(x_1, \dots, x_n)

其全微分为：

latex: dy = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y}{\partial x_i} \cdot dx_i

1.2 导数

导数是基于微分构建的针对函数的概念，表示了在自变量的改变趋近于无穷小的时候，函数值的改变与自变量值改变之间的比例关系，即函数值的变化率。

函数必须连续且可导，才存在导数。某些连续函数不存在整个定义域上的导数。如下图所示的三角波函数，在每个周期的最高点和最低点（0.1s 的整数倍时刻），是不存在导数的。

对于只有一个自变量的函数，导数（derivative）可定义为：

latex: \frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

对于函数的可导区间内，每个自变量的取值，仅存在唯一的导数值。由此，导数也是一个函数。

很多常用函数（多项式、三角函数、指数函数等）有现成的导数结果解析计算公式，可参考高等数学资料。

偏导数（partial derivative）表明了在其他变量固定不变的情况下，针对某个特定变量的求导结果。偏导数定义为：

latex: \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n)}{\Delta x_i}

偏导数隔离了其他变量的影响，仅考虑当前关注变量导致的函数值变化率。同一个函数，针对不同变量，偏导数结果通常是不相同的。

例如对于函数：

latex: y=x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2 + x_2

两个变量各自的偏导数为：

latex:

\frac{\partial y}{\partial x_1}=2 \cdot x_1 x_2+x_2

\frac{\partial y}{\partial x_2}=x_1^2+x_1+1

全导数（total derivative）表征若各个变量都在变动，函数值的变化率。

对于多元函数：

latex: y=f(x_1, \dots, x_n)

其全导数为：

latex: \frac{dy}{dx_i}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_j} \cdot \frac {dx_j}{dx_i}

若函数中某个变量是完全独立的，即

latex: \frac {dx_j}{dx_i}=0

恒成立，则全导数和偏导数相同。

2 在流体力学中的相关概念

流体力学中，微分和导数是无处不在的。

从导数的物理意义上来说，导数值即为变化率。如温度变化率、应变率等描述了物理量随时间的改变。梯度等基于微分构建的概念则表征了物理量在空间的变化率。

微分方程表述了不同变量的导数之间满足的等式。输运方程作为流体力学基本的方程，其针对不同物理变量形成的连续性方程、动量方程、能量方程均为微分方程。

2.1 单位制

若变量存在单位，则必须注意单位制问题。单位制的基本原则：微分的单位和物理量本身相同，导数的单位为两个物理量微分的除法运算。

例如压力场，压力微分本身的单位仍为 Pa；压力对空间坐标的偏导数，即压力在空间的变化率，单位为 Pa/m；压力对时间的偏导数，即压力在时间的变化率，单位为 Pa/s。

2.2 物质导数

在流体力学中，物质导数（material derivative）是全导数的一种应用。

对于任意物理量，物质导数定义为：

latex: \frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla \phi)=\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x}u + \frac{\partial \phi}{\partial y}v + \frac{\partial \phi}{\partial z}w

根据全导数的定义：

latex: \frac{d\phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{dz}{dt}

结合流体中，速度和坐标之间的关系：