圆锥曲线和天体运动，以及微分方程
圆锥曲线和天体运动，以及二阶线性偏微分方程什么是圆锥曲线 如图所示，圆锥曲线，是由一个圆锥被一个平面切割所产生的各种曲线。 圆锥是由一条与轴线保持固定夹角 α 的直线绕该轴线旋转一周而形成的立体图形。 当用不同角度的平面去切割这个圆锥，横截面与圆锥轴线之间的夹角 β，直接决定了我们得到哪种曲：当 0° ≤ β < α 时：平面与圆锥的两叶都相交，其交线是一条开放且有两支的双曲线（如图中橙色面所示）。当 β = α 时：平面恰好与圆锥的一条母线平行，此时得到的是一条开放的抛物线（如图中蓝色面所示）。当 α < β ≤ 90° 时：平面只与圆锥的一叶相交，交线是一个封闭的椭圆（如图中绿色面所示）。当 β = 90° 时：这是一个非常特殊的情况，截面与圆锥的轴线垂直，此时得到的便是一个完美的圆（如图中红色面所示）。我们可以将圆视为椭圆的一个特例。因此，双曲线、抛物线、椭圆和圆，这四种看似形态各异的曲线，实际上本质是统一的，它们都是平面与圆锥相交的所产生的曲线，统称为“圆锥曲线”。关于x和y的一般二元二次方程一般形式可以写作： 将该方程写成矩阵形式： 即： 其中 是实对称矩阵，他的行列式为： 将 作为判别式当 时，方程变为椭圆形（退化情况有点椭圆虚椭圆）当 时，方程变为抛物线（退化情况有两条平行直线）当时，方程变为双曲线（退化情况有两条相交直线）天体运行物理规律当天体的动能不足以克服引力源的引力势能时（总机械能<0）天体在一个封闭的，周期性的轨道上做椭圆运动（条件极其苛刻的情况下做圆周运动几乎不存在）例如地球围绕太阳，月球围绕地球，哈雷彗星光顾地球当天体的动能恰好够克服引力源的引力势能时（总机械能=0）由于条件极其苛刻因此几乎不存在，但是在地球上理想情况下的抛物运动总是抛物线轨迹当天体的动能大于引力源的引力势能时（总机械能>0）天体从某个方向飞来，然后在中心天体的引力作用下发生偏转（引力弹弓效应）然后朝另一个方向飞去做双曲线运动例如星际彗星‘奥陌陌’，最近的‘阿特拉斯’以及人类发射的星际探测器二阶线性偏微分方程一般形式可以写作： 类似于一般的二元二次方程，其判别式： 当 时，对应的是一个椭圆方程，他是封闭、有限的图形。椭圆上没有特定的“方向性”，它是匀称的。 最典型的例子是拉普拉斯方程 椭圆型方程没有实的特征线。这意味着信息传播速度是无穷大的。其描述的是平衡态、稳态问题，如稳定的温度场、静电场。某一点的值受区域内所有点的影响，同时也影响所有点，没有时间维度和因果关系。这类似于椭圆的“封闭性”和“整体性”。当 时，对应的是一个抛物线方程，他是开放、无限的，但它只有一个开放方向，具有独特的对称轴，指明了主导方向。 最典型的例子是热传导方程 有一族实的特征线描述的是扩散过程，如热传导、粘性流体的扩散。它描述的是随时间单向演化的系统。信息理论上可以瞬间传遍全域，但强度急剧衰减（比如在远处加热，近处只会感受到微弱的温度变化）。这类似于抛物线的“单向开放性”和“主导方向”。当时，对应的是一个双曲型方程，有两支，是开放、无限的，并且有两个明确的渐近方向。 最典型的例子是波动方程 有两族实的特征线描述的是波动现象，如声波、振动。信息以有限的速度 c沿特征线传播，具有清晰的因果律。某一点的扰动只影响其未来的一个锥形区域（影响域）。这完美地类比了双曲线的两支，代表了波前向前和向后传播的方向。总结圆锥曲线基于几何形状（不变量）分类，偏微分方程基于解的特性（不变量）分类，却具有可以类比的性质，相同的判别式，说明截然不同的物理现象，完全可能共享相同的数学本质后续将分享神经网络解微分方程的文章，本账号做分享的全部文章代码后续都会放在知识星球，如有需要请关注我吧~~~🤞🤞🤞来源：我的博士日记
