圆锥曲线和天体运动，以及微分方程

圆锥曲线和天体运动，以及二阶线性偏微分方程

什么是圆锥曲线

如图所示，圆锥曲线，是由一个圆锥被一个平面切割所产生的各种曲线。 圆锥是由一条与轴线保持固定夹角 α 的直线绕该轴线旋转一周而形成的立体图形。 当用不同角度的平面去切割这个圆锥，横截面与圆锥轴线之间的夹角 β，直接决定了我们得到哪种曲：

• 当 0° ≤ β < α 时：平面与圆锥的两叶都相交，其交线是一条开放且有两支的双曲线（如图中橙色面所示）。

• 当 β = α 时：平面恰好与圆锥的一条母线平行，此时得到的是一条开放的抛物线（如图中蓝色面所示）。

• 当 α < β ≤ 90° 时：平面只与圆锥的一叶相交，交线是一个封闭的椭圆（如图中绿色面所示）。

• 当 β = 90° 时：这是一个非常特殊的情况，截面与圆锥的轴线垂直，此时得到的便是一个完美的圆（如图中红色面所示）。我们可以将圆视为椭圆的一个特例。

因此，双曲线、抛物线、椭圆和圆，这四种看似形态各异的曲线，实际上本质是统一的，它们都是平面与圆锥相交的所产生的曲线，统称为“圆锥曲线”。

关于x和y的一般二元二次方程

一般形式可以写作：

将该方程写成矩阵形式：

即：

其中    是实对称矩阵，他的行列式为：

将    作为判别式

• 当      时，方程变为椭圆形（退化情况有点椭圆虚椭圆）
• 当      时，方程变为抛物线（退化情况有两条平行直线）
• 当时，方程变为双曲线（退化情况有两条相交直线）

天体运行物理规律

• 当天体的动能不足以克服引力源的引力势能时（总机械能<0）
• 天体在一个封闭的，周期性的轨道上做椭圆运动（条件极其苛刻的情况下做圆周运动几乎不存在）
• 例如地球围绕太阳，月球围绕地球，哈雷彗星光顾地球
• 当天体的动能恰好够克服引力源的引力势能时（总机械能=0）
• 由于条件极其苛刻因此几乎不存在，但是在地球上理想情况下的抛物运动总是抛物线轨迹
• 当天体的动能大于引力源的引力势能时（总机械能>0）
• 天体从某个方向飞来，然后在中心天体的引力作用下发生偏转（引力弹弓效应）然后朝另一个方向飞去做双曲线运动
• 例如星际彗星‘奥陌陌’，最近的‘阿特拉斯’以及人类发射的星际探测器

二阶线性偏微分方程

一般形式可以写作：

类似于一般的二元二次方程，其判别式：

• 当      时，对应的是一个椭圆方程，他是封闭、有限的图形。椭圆上没有特定的“方向性”，它是匀称的。
     最典型的例子是拉普拉斯方程    

• 椭圆型方程没有实的特征线。这意味着信息传播速度是无穷大的。
• 其描述的是平衡态、稳态问题，如稳定的温度场、静电场。某一点的值受区域内所有点的影响，同时也影响所有点，没有时间维度和因果关系。这类似于椭圆的“封闭性”和“整体性”。
• 当      时，对应的是一个抛物线方程，他是开放、无限的，但它只有一个开放方向，具有独特的对称轴，指明了主导方向。
     最典型的例子是热传导方程    
  
     

   
• 有一族实的特征线
• 描述的是扩散过程，如热传导、粘性流体的扩散。它描述的是随时间单向演化的系统。信息理论上可以瞬间传遍全域，但强度急剧衰减（比如在远处加热，近处只会感受到微弱的温度变化）。这类似于抛物线的“单向开放性”和“主导方向”。
• 当时，对应的是一个双曲型方程，有两支，是开放、无限的，并且有两个明确的渐近方向。
     最典型的例子是波动方程    
  
     

   
• 有两族实的特征线
• 描述的是波动现象，如声波、振动。信息以有限的速度 c沿特征线传播，具有清晰的因果律。某一点的扰动只影响其未来的一个锥形区域（影响域）。这完美地类比了双曲线的两支，代表了波前向前和向后传播的方向。

总结

圆锥曲线基于几何形状（不变量）分类，偏微分方程基于解的特性（不变量）分类，却具有可以类比的性质，相同的判别式，说明截然不同的物理现象，完全可能共享相同的数学本质

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