三维二阶Serendipity虚拟元法：超弹性问题的高效静动态分析新方案

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》最新论文：

Second order three-dimensional serendipity virtual elements for hyperelasticity: Static and dynamic ana lysis

近期，汉诺威大学的徐兵兵博士后为第一和通讯作者，意大利Milan-Bicocca大学的Lourenco Beirao da Veiga教授，美国卡内基梅隆大学的 Yongjie Jessica Zhang教授，以及汉诺威大学的Peter Wriggers教授作为合作者的论文正式上线。

论文原文见：https://authors.elsevier.com/sd/article/S0045-7825(25)00704-2

摘要

该论文聚焦于三维二阶serendipity虚拟元(serendipity virtual element method, S-VEM)的数学构造，以及其在超弹性结构动力学问题中的应用。VEM 框架基于虚单元函数空间到多项式空间的投影，允许使用任意多面体网格进行灵活的离散化。

目前，绝大多数求解三维力学问题的VEM主要使用一阶格式，但高阶方案提供了更高的精度，特别是对于非线性问题。然而，传统的二阶VEM公式引入了额外的自由度（DOF），例如体矩量和面矩量，这使得程序实现变得复杂并降低了计算效率。

为了应对这一挑战，作者提出了一种新型的 3D 二阶serendipity VEM，可以避免任何与矩量相关的额外自由度。这是三维serendipity VEM首次应用于超弹性问题。此外，通过集成先进的网格生成技术，所提出的方法能够实现结合二阶serendipity VEM和有限元的耦合仿真，以有效地处理复杂的几何形状。

 

基本理论

对于超弹性问题，其平衡方程的弱形式为

如果考虑动力学，其平衡方程的弱形式为

在虚单元法中，需要定义由虚单元空间到多项式空间的投影

其中虚单元空间为

因此，为了求解投影算子，需要定义以下自由度

• 单元      的角点值      ;
• 每条边      上      个Gauss-Lobatto点的值;
• 面      上直到      阶的矩量值

• 体内直到      阶的矩量值

 

为了避免额外的矩量自由度的定义，作者引入了S-VEM的投影

其可以通过以下面积分进行计算

则对于椭圆投影    ,

通过求解投影算子    ，可以将对积分    进行近似。则对于二阶VEM，其自由度仅由以下定义

• 单元      的角点值      ;
• 每条边      上      个Gauss-Lobatto点的值;

 

平衡方程

一旦得到了投影算子，可直接将其代入虚功方程中。由于超弹性问题为非线性问题，因此需要将其线性化为

则刚度矩阵为

对于动力学问题，则有相似的动力平衡方程

VEM-FEM耦合格式

对于大对数三维问题，其几何形状复杂，因此很难生成高质量的FEM网格。但是最新的网格生成技术可以在几何体内部生成笛卡尔网格，在边附近采用四面体网格离散，同时采用多面体网格进行过渡。因此，采用VEM-FEM耦合格式，可以很好的解决复杂几何的离散-求解问题。

 

算例

1. 冲压问题

2. 超弹性杆的动力学问题

3. 薄板的动力变形

4. VEM-FEM耦合就和超弹性问题

结论

在该工作中，作者开发了一种新型的三维二阶S-VEM，用于超弹性材料的静态和动态分析。通过消去经典二阶VEM格式中所需的额外矩量自由度，所提出的方法显着降低了计算复杂性，同时保持了高精度。此外，S-VEM与二阶偶然有限元的耦合进一步增强了该方法在混合网格场景中的适用性。