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Mesh2D：基础网格划分

易木木响叮当

1年前浏览561

本期开始带着大家学习开源项目 Mesh2D^[1]。它是一个基于 MATLAB 的二维 Delaunay 网格生成器（mesh-generator），专门为通用二维几何体生成高质量的非结构化三角形网格。其核心用途和特点包括：

可以对各种已知边界信息，进行Delaunay 三角剖分，输出高质量、几何和拓扑优化的二维三角形网格
实现了 Delaunay-refinement 和 Frontal-Delaunay 两种三角剖分技术
内部包含各种网格优化算法
支持自定义网格密度函数，实现不同区域的自适应加密
支持多分区的复合区域网格剖分

基础操作

先来操作一下，简单的几何区域及网格参数设置：

定义几何区域

node = [ 
0, 0; 9, 0; 9, 9; 0, 9;  % 外部
4, 4; 5, 4; 5, 5; 4, 5% 内部孔
];
edge = [
1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, 1;  % 外部
5, 6; 6, 7; 7, 8; 8, 5% 内部
];

调用 refine2 进行网格划分

[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge);

参数说明

vert：新生成节点坐标
tria：三角单元节点索引
etri：有边界约束的边，记录网格所有重要边（边界/内部边）的起止节点编号
tnum：区域编号（域分组号），标记每个三角形属于哪个物理区域（单区域时全为1）

绘图

绘制原始边界和新生成的mesh

patch('faces', tria(:,1:3), 'vertices', vert, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.2,.2,.2]);
hold on; axis image off;
patch('faces', edge(:,1:2), 'vertices', node, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.1,.1,.1], 'linewidth', 1.5);

调节网格密度参数

hfun 控制单元边长，作为输入参数的第五个位置，目前为常数，后续自定义密度函数时在做详细介绍。

hfun = 0.3; % 变小则更密，变大则更粗
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, [], [], hfun);

完整代码

node = [ 
0, 0; 9, 0; 9, 9; 0, 9;  % 外部
4, 4; 5, 4; 5, 5; 4, 5% 内部孔
];
edge = [
1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, 1;  % 外部
5, 6; 6, 7; 7, 8; 8, 5% 内部
];

figure;
subplot(1,2,1)
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge);
patch('faces', tria(:,1:3), 'vertices', vert, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.2,.2,.2]);
hold on; axis image off;
patch('faces', edge(:,1:2), 'vertices', node, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.1,.1,.1], 'linewidth', 1.5);
title('基础 mesh');

subplot(1,2,2)
hfun = 0.3;
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, [], [], hfun);
patch('faces', tria(:,1:3), 'vertices', vert, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.2,.2,.2]);
hold on; axis image off;
patch('faces', edge(:,1:2), 'vertices', node, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.1,.1,.1], 'linewidth', 1.5);
title(['加密 mesh, hfun = ', num2str(hfun)]);

进一步学习

经过上面案例的学习，是不是对基础的网格划分方法有了一定的认识，现在我们再来试试变换一下几何区域：

圆形内孔

几何区域

% ==== 外正方形节点和边 ====
node = [00; 90; 99; 09];
edge = [12; 23; 34; 41];

% ==== 圆孔节点和边 ====
N = 32;        % 圆孔离散点数，越多越圆滑
r = 1;         % 圆半径
cx = 4.5; cy = 4.5;  % 圆心

theta = linspace(0, 2*pi, N+1)';
theta(end) = []; % 去除最后一个和第一个重合
circle_nodes = [cx + r*cos(theta), cy + r*sin(theta)];
circle_edges = [(1:N)' [2:N 1]']; % 连环相接

% ==== 拼接 ====
node = [node; circle_nodes];
edge = [edge; (4+(1:N))' (4+[2:N 1])'];

完整代码

% ==== 外正方形节点和边 ====
node = [00; 90; 99; 09];
edge = [12; 23; 34; 41];

% ==== 圆孔节点和边 ====
N = 32;        % 圆孔离散点数，越多越圆滑
r = 1;         % 圆半径
cx = 4.5; cy = 4.5;  % 圆心

theta = linspace(0, 2*pi, N+1)';
theta(end) = []; % 去除最后一个和第一个重合
circle_nodes = [cx + r*cos(theta), cy + r*sin(theta)];
circle_edges = [(1:N)' [2:N 1]']; % 连环相接

% ==== 拼接 ====
node = [node; circle_nodes];
edge = [edge; (4+(1:N))' (4+[2:N 1])'];

% ==== mesh 生成 ====
hfun = 0.25; % 可以试试 0.1, 0.5
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, [], [], hfun);

figure;
patch('faces', tria(:,1:3), 'vertices', vert, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.2,.2,.2]);
hold on; axis image off;
patch('faces', edge(:,1:2), 'vertices', node, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', 'r', 'linewidth', 1.2);
title(['正方形带圆孔, hfun = ', num2str(hfun)]);

几何区域内部多个小孔

再来换种形式：

% ==== 外正方形 ====
node = [0,0; 9,0; 9,9; 0,9];

% ==== 添加两个圆孔 ====
N = 24;
r = 0.8;
theta = linspace(0, 2*pi, N+1)';
theta(end) = [];

% 孔1
c1 = [2.52.5];
circ1 = c1 + r*[cos(theta) sin(theta)];
% 孔2
c2 = [6.56.5];
circ2 = c2 + r*[cos(theta) sin(theta)];

node = [node; circ1; circ2];
edge = [12; 23; 34; 41; ...           % 外部
    (4+(1:N))' (4+[2:N 1])'; ...          % 孔1
    (4+N+(1:N))' (4+N+[2:N 1])'];         % 孔2

完整代码

% ==== 外正方形 ====
node = [0,0; 9,0; 9,9; 0,9];

% ==== 添加两个圆孔 ====
N = 24;
r = 0.8;
theta = linspace(0, 2*pi, N+1)';
theta(end) = [];

% 孔1
c1 = [2.52.5];
circ1 = c1 + r*[cos(theta) sin(theta)];
% 孔2
c2 = [6.56.5];
circ2 = c2 + r*[cos(theta) sin(theta)];

node = [node; circ1; circ2];
edge = [12; 23; 34; 41; ...           % 外部
    (4+(1:N))' (4+[2:N 1])'; ...          % 孔1
    (4+N+(1:N))' (4+N+[2:N 1])'];         % 孔2

hfun = 0.22;
[vert, etri, tria, tnum] = refine2(node, edge, [], [], hfun);

figure;
set(gcf,'color','white');
patch('faces', tria(:,1:3), 'vertices', vert, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', [.2,.2,.2]);
hold on; axis image off;
patch('faces', edge(:,1:2), 'vertices', node, ...
'facecolor', 'w', 'edgecolor', 'm', 'linewidth', 1.2);
title('双孔正方形 mesh');

来源：易木木响叮当

拓扑优化通用 MATLAB UM 控制

著作权归作者所有，欢迎分享，未经许可，不得转载

首次发布时间：2025-08-01

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