VEM 可以解决哪些问题

应用范围

• 固体力学：弹性、有限变形、接触、断裂，以及多晶材料的均匀化；
• 板弯曲与梯度弹性：包括 Kirchhoff 板、Reissner–Mindlin 板，以及需要更高连续性的四阶偏微分方程；
• 优化问题：将 VEM 用作优化过程中的数值离散方法；
• 其他场问题：Navier–Stokes 流动、抛物型问题和静磁场。

网格灵活性带来的用途

VEM 可采用边数不固定的多边形、面数不固定的多面体，也可采用非凸单元。下图展示了形状差异很大的单元仍能组成连续网格，其中动物轮廓各自就是一个虚单元。

• 不同材料或分层区域的网格连接：两侧网格节点不对应时，可在虚单元边界增加节点，使界面位移连续；边界插值阶次相同时，还可连接 VEM 与 FEM 网格。

• 裂纹扩展：可在单元中插入裂纹并增加顶点，也可沿裂纹将单元切分，不必为此重新划分整个网格。

• 接触问题：可将一侧接触节点投影到另一侧，并在相应位置插入节点，使原本不匹配的接触网格形成节点对节点的接触关系。

接触问题也可通过第三介质法处理：在可能接触的物体之间填入用于计算的辅助介质。物体尚未接触时，该介质很软，对物体运动影响较小；间隙逐渐闭合时，介质受到强烈压缩，抵抗进一步压缩的能力迅速增大，从而阻止物体穿透。这样，接触通过辅助介质的材料响应实现，不必先建立节点对节点的接触关系。

在后续发展中，Xu 与 Wriggers 将免稳定化虚单元法（SFVEM）用于二维第三介质大变形接触，并计算了自接触和多物体接触。多边形网格便于在第三介质区域局部细化；同时仍需正则化项控制该区域的严重网格畸变。“免稳定化”不表示可以省去第三介质的正则化处理。

参考论文：

• Xu, Bing-Bing, and Peter Wriggers. "Stabilization-free virtual element method for 2D third medium contact." Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 450 (2026): 118611.

• 多晶材料的微观结构与均匀化：可用一个多面体虚单元表示一个晶粒，而不必在每个晶粒内部划分大量有限元；这能减少单元数量，但晶粒内部的复杂响应仍取决于所采用的近似阶次和模型。

• 需要更高连续性的板与梯度模型：Kirchhoff 板弯曲和梯度弹性要求更高的函数连续性。VEM 不必显式构造完整的内部形函数，为这类近似空间的构造提供了便利。
• 更多的应用范围有待我们一起去探究，将 VEM 极大的灵活性应用到我们自己的研究领域中。

【注】本节内容参考文献及图片来源：

• Wriggers, Peter, Fadi Aldakheel, and Blaž Hudobivnik. Virtual element methods in engineering sciences. Berlin: Springer, 2024.
• Xu, Bing-Bing, and Peter Wriggers. "Stabilization-free virtual element method for 2D third medium contact." Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 450 (2026): 118611.