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第2篇 网格 让我来形容你的美

4年前浏览4572

    网格,有限元分析之基础。

    前文已经介绍,节点是构成有限元的最小基本元素,节点的有序排列连接可以构成网格(亦称之为“单元”)。Ansys软件内有众多单元,按单元用途分,有link180杆单元,shell181壳单元,solid186实体单元等,按单元形状分,有三角形单元,四边形单元,四面体单元,六面体单元等。睁开读者的清澈双眸观察网格,软件为我们提供的不同的网格只是形状不同而已,但网格的根本含义是什么,有限元小白们却很少关注。下面笔者就以一维杆单元为例为读者揭开网格的神秘面纱,使读者一睹网格的绝世容颜。

    在开始介绍之前,我们不妨先回顾一下第1篇文章结尾,笔者曾提及有限元给出的位移结果是节点的位移,而节点以外的位移需要通过形函数进行表达。在介绍网格内涵之前,笔者先带领读者认识一下网格的形函数。

    以图1杆单元为例,有限元结果求得了i、j两点的位移,那i、j两个节点之间的其它部位的位移该如何得知?

图片1.png

                                                                                     图1

    我们不妨先设一个函数,如公式1:

公式1.png

    公式1想表达的是:杆单元任意一点的位移是杆长x的函数,但这个函数有一个问题,就是有两个未知量,即a0和a1,所以我们需要先将这两个未知量求出。

    根据已知条件知:

公式2.png

    由公式2可知,当x=0时,位于i节点,描述的是ui位移,当x=L时,位于j节点,描述的是uj位移。故公式2经过移项改写成公式3:

公式3.png

    通过公式3已经求得了两个未知量a0和a1,现在将公式3代回到公式1得:

公式4.png

    整理、归类得公式5:

公式5.png

    公式5中ui之后的系数(1-x/L)及uj之后的系数x/L即称之为“形函数”,公式5的含义是:在求得ui和uj后,杆单元内任意一点的位移与ui和uj两个节点的位移量有关。

    在上篇文章案例中,我们已得知ui=0mm,uj=0.00095mm,uk=0.0019mm。为了验证公式5正确性,利用本式验证第1篇文章案例中j节点的位移。已知ui=0mm,uk=0.0019mm,x=100mm(j节点的位置位于杆的中间),L=200mm,将已知条件带入公式5求uj,结果如公式6:

公式6.png

    通过公式5求得的结果与上篇文章uj的结果是一致的。

    公式5的导出对有限元理论意义重大,因为我们不仅需要根据公式5插值得到节点以外的场量(位移、应变、应力等物理量),而且还需要根据公式5利用最小势能原理导出线性静力学的典型方程。

    公式5除了可以插值得到其它部位的位移,也可以通过对位移函数的一阶导数导出应变,进而求解应力,进而验证上篇文章末所述:位移解是基本解,应变和应力为派生解。如公式7:

公式7.png

    文章到此,我想聪明的读者已经知道网格的数学含义。从图形看,一根线体被划分成杆单元后,软件从图形上给出的是一条线,而有限元理论在后台生成的实际是公式5。当然,公式5仅仅是一维杆单元的形函数,对于梁单元、壳单元以及实体单元,有限元理论在数学上给出的试函数(如公式1)是不一样的,在图形上给出的则是不同的形状(三角形单元、四边形单元等)。

    综上所述,笔者想要表达的是“网格,让形函数来形容你的美!”




静力学结构基础
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首次发布时间:2019-10-21
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