刚度会松弛到 0：纯 Burgers 接触模型的三条本构缺失

先说清楚一件事，免得被误解：Burgers 是流变学里的经典四元件模型，它能模拟蠕变。它的蠕变柔量长这样：

bashJ(t) = 1/K_m + t/C_m + (1/K_k)·(1 - e^(-t/τ_k))

瞬时弹性（第一项）+ 稳态黏性流动（第二项）+ 延迟弹性（第三项）。教科书上就是这么写的。

但"能蠕变"和"能模拟常规蠕变现象"是两回事。 这篇文章把 PFC 官方文档里的本构方程拆开，指出它缺的三样东西，并用本机 PFC 6.0 实跑验证。

1. 一、先确认模型长什么样

PFC 6.0 官方文档对 Burger 接触模型的定义只有一句话：

Burger’s model simulates creep mechanisms by using a Kelvin model and a Maxwell model connected in series in both the normal and shear directions.

翻译过来：Kelvin 与 Maxwell 串联，而且法向和切向各一套。它作用在无穷小面积上、只传力不传力矩。

 

图1 Burgers 模型的力学元件。Kelvin 段内部并联、Maxwell 段内部串联，两段之间再串联。

官方给的本构微分方程（文档 Eq.5）是：

bashf + a₁·ḟ + a₂·f̈ = ±C_m·u̇ ± (C_k·C_m/K_k)·ü

a₁ = C_k/K_k + C_m·(1/K_k + 1/K_m)
a₂ = C_k·C_m/(K_k·K_m)

下面三条缺失，全都从这一个方程里读出来。

2. 二、缺失一：没有平衡模量（刚度会松弛到 0）

2.1 证明

把位移固定住（应力松弛条件）：u = const，于是 u̇ = 0、ü = 0，方程右边归零，退化成齐次方程：

bashf + a₁·ḟ + a₂·f̈ = 0

它的特征方程是：

basha₂·s² + a₁·s + 1 = 0

关键在常数项是 1，不是 0。 这意味着 s = 0 不是根。反证一下：假设存在非零稳态解 f ≡ f∞，代进原方程得到 1·f∞ = 0，矛盾。所以模型根本不存在非零平衡解。

再看两根的符号：两根之积 = 1/a₂ > 0，两根之和 = -a₁/a₂ < 0。由于 a₁、a₂ 都是正的，两个根的实部必然都是负的。

结论：f(t) → 0。恒定位移下，接触力指数衰减到零，一丝不剩。

2.2 实跑验证

我拿官方验证算例的参数（k = c = 1×10⁸，初始重叠 0.01）在本机 PFC 6.0 跑了一遍。解析解与数值结果：

误差 0.005%。 两条曲线完全重合。

 

图2 归一化接触力随时间的变化（对数纵轴）。Burgers 单调衰减到零；作为对照，标准线性固体（三元件，SLS）衰减到一个有限的残余值 E∞。

图上同时画了标准线性固体：它的松弛模量是 E(t) = E∞ + E₁·e^(-t/τ)，恒定位移下保留住 E∞ 的刚度。差别就在这里——Burgers 没有这一项。

2.3 一个常见误解

别把 K_k 当成"长期（平衡）刚度"，它不是。 Kelvin 段的弹簧虽然并联了一个阻尼器，但在串联结构里，随着 Maxwell 段的阻尼器持续流动，Kelvin 段的变形 u_k 也会被慢慢"吸走"（u_k → 0），最终它同样被完全卸载。

用一句话概括 Maxwell 阻尼器的性质：它没有回复力。 恒定变形下它不断流动，把弹簧里存的弹性势能一点点耗散掉，直到力归零。

2.4 对偶面：蠕变侧

同一件事在蠕变侧长这样——恒定应力下，蠕变柔量的 t/C_m 项随时间线性增长，不收敛：

bashdJ/dt = 1/C_m + (1/C_k)·e^(-t/τ_k) > 0   对所有 t 成立

只要应力非零，变形就永不停止。

3. 三、缺失二：没有蠕变阈值（没有长期强度）

真实的岩土材料有一个应力门槛：低于它，蠕变速率会衰减到可忽略，变形趋于稳定。这就是"长期强度"的物理来源，也是分级加载蠕变试验里那条"稳定蠕变曲线"能画出来的原因。

Burgers 没有这个门槛。看蠕变柔量的导数：

bashdJ/dt = 1/C_m + (1/C_k)·e^(-t/τ_k)

第二项随时间衰减到零，但第一项 1/C_m 是常数。也就是说，稳态蠕变速率不依赖于应变已经积累了多少，只依赖应力本身。应力一旦非零，Maxwell 阻尼器就永远以 f/C_m 的速率流动下去。

实跑数据（恒定外力 F = 2×10⁴）：

 

图3 PFC 6.0 实跑：恒定的向下外力作用在球 2 上，位移随时间持续增长。前段是弹性跳跃，之后进入严格的线性段。

线性段的斜率实测为 2.00×10⁻⁴，而理论稳态速率是：

bashu̇ = F/C_m = 2×10⁴ / 1×10⁸ = 2.0×10⁻⁴

吻合到三位有效数字。 位移没有渐近线，一直增长下去——它不会停。

这个模型里不存在"安全应力"：不管把外力降到多小，只要不为零，位移总会以某个恒定速率无限累积下去。工程上"低于某应力蠕变可忽略"的判断，在本构层面没有对应的数学结构。

4. 四、缺失三：没有加速段，也没有损伤

4.1 速率恒为减函数

三阶段蠕变的分界，本质上是应变速率曲线的形状：主蠕变段速率递减，稳态段速率恒定，第三阶段速率递增直到破坏。

对 Burgers 求应变速率：

bashε̇(t) = σ·[ 1/C_m + (1/C_k)·e^(-t/τ_k) ]

对它求导：

bashdε̇/dt = -(σ·K_k/C_k²)·e^(-t/τ_k) < 0   对所有 t 成立

速率严格单调递减，永远不会上升。 第三阶段（加速蠕变）在本构上不可达——不是"参数没调好"，是方程里根本没有能让它上升的项。

 

图4 归一化应变速率对比。真实岩石（蓝）走完 U 形：递减 → 平台 → 递增；Burgers（红）递减到稳态速率后彻底水平，再也不动。两条曲线的稳态速率取相同值，所以差异只来自第三段的缺失。

4.2 损伤层面：三样东西都没有

• 没有键：源码里 isOKToDelete() { return !isBonded(); }，官方文档的成键模型清单（contact bond / parallel bond / flat joint / smooth joint）里也没有它。
• 没有裂纹事件：切向强度只有纯库仑摩擦 Fs* = -fs·Fn，没有黏聚力项，也就没有键断裂、没有 crack 计数。
• 没有能量分区：官方原文 “does not provide any energy partition”，耗散能得自己用 FISH 累。

所以损伤变量、声发射、破裂演化这一类指标，用它都做不出来。

5. 五、那"常规蠕变现象"到底指什么

把实验室那条完整的蠕变曲线拆成要素，逐条对一遍：

前两段能做，后四段做不了。 而"常规蠕变试验"之所以有工程价值，恰恰是因为后四段——工程师关心的是"它什么时候坏"，而不是"它前两段拟合得多好"。

6. 六、那文献是怎么用的

既然纯 Burgers 有这些缺失，为什么还有大量论文用它做岩石蠕变？

翻一遍那些工作的接触配置就会发现，它们用的都不是纯 Burgers。通行做法是 BPB 混杂接触模型（Burgers + Parallel Bond）：

• Burgers 接触负责时间相关变形
• 平行键负责强度、损伤与破裂

而且 Burgers 接触的占比通常很小——有报道称煤样中 Burger : linearpbond 的接触数约为 1:9（高压物理学报，2025）。

这个配比背后有个容易被忽略的原因。上一节证明了纯 Burgers 没有平衡模量——平行键是纯弹性的、不松弛，它恰好补上了 Burgers 缺失的那块长期刚度。所以 BPB 的意义不只是"加个键好出裂纹"，也是"让骨架不至于在长期持载下被松弛干净"。

代价：PFC 一个接触只能挂一个模型，BPB 必须自己写。好在 Itasca 把 Burger 接触模型的完整 C++ 源码公开在文档的插件章节（contactmodelburger.h/.cpp），是在它基础上加并联弹簧（做 SLS）或加平行键（做 BPB）的现成起点。

7. 七、结论

Burgers 模型的设计目的是描述黏弹性变形，不是描述蠕变破坏。它的三条缺失全部写在本构方程里：

适用边界的正确表述是：纯 Burgers 能模拟"以黏弹变形为主、不涉及破坏"的时间相关行为（沥青混合料是它最自洽的应用场景）；一旦问题里出现"长期强度"“加速蠕变”"裂纹演化"中的任何一个，纯 Burgers 就不够了，得换 linearpbond / flatjoint / smoothjoint，或者自建 BPB。

这不是说这个模型不好——是说别把它的能力边界当成参数问题。刚度松弛到 0 不是 bug，是 Maxell 阻尼器没有回复力的必然结果。

参考资料

• Itasca PFC 6.0 文档，Burger’s Model 章节（common/contactmodel/burger/doc/manual/cmburger.html）
• Itasca PFC 6.0 文档，Built-in Contact Models 章节（模型定位与成键模型清单）
• Itasca PFC 6.0 验证算例 datafiles2d/verifications/burger/stress_relaxation/burger.p2dat
• Itasca PFC 6.0 文档，Burger’s Contact Model Implementation（公开的 C++ 源码）