连续型随机变量
离散随机变量的取值是有限的或无穷但可列的，比如泊松随机变量。在这里，我们将研究其可能取值集 合为无穷不可数的随机变量。
一个大城市随机抽取一个成年人的体重正好达到70.6kg的概率是多少?这个概率非常小。体重正好达到70.63kg呢?此时的概率更小。体重正好达到70.633kg呢?此时概率甚至更小。考虑到在70.633和70.634之间有无穷多个实数，如果我们允许体重值取任何实数，那么我们实质上在问一个人的体重值取一个具有无限位数字的十进制数的概率。对于任何实数，这个概率为零。此时，我们用离散随机变量来刻画不同体重的概率没有意义，--因为概率质量函数在各处总是恒等于零。这就需要引入新的理论工具。
我们无法使用概率质量函数来处理上述的连续随机变量，但是累积分布函数仍然有效。例如考察一个人体重为70.00001kg的概率可能没有意义，但是考察一个人体重小于70kg概率仍然是有意义的，同样考察一个人体重在70kg到72kg之间的概率也仍然有意义的。因此，我们同样记累积分布函数为
这样的随机变量称为连续随机变量，如图所示，随机变量 将事件映射到实数轴上的一个区间。
累积分布函数完全刻画了我们所关心的一个随机变量的所有信息，因此，在某种意义上，我们完全可以使用累积分布函数回答关于连续随机变量的问题。对一个离散随机变量，累积分布函数是由概率质量函数的部分和给出的:
在离散随机变量的情况下，要计算 ，我们只需将所有概率质量函数的值相加 。如果 是有限的，我们可以计算这个求和；有时当它是无穷可列时也可以计算。然而，如果 是不可数的，这种方法就不再适用了，因为我们无法进行相加。
回忆一下，积分与“求和”是类似的，积分是加总曲线下图形的面积。虽然我们不能求一个连续函数的部分和，但我们可以求它的一个积分。为此，我们可以定义连续随机变量的概率密度函数(probability density function ,PDF)，同时将其记为 。引入下列关系式:
积分可以理解为曲线下方的面积。这意味着在 处的累积分布函数等于 的概率，也等于在 区间的概率密度函数下方的面积。下面的图2描述了这种关系。
由于求积分和求微分是互逆运算，由式(3)得
即概率密度函数是累积分布函数的导数。这意味着在一点的概率密度是该点的累积分布函数的瞬时斜率。
关于 的所有问题都能通过 回答。例如，设 ，由(1)我们得到
当 时，那么
例子🌰
连续随机变量 的概率密度函数给定为：
求：
(a) 常数 的值，
(b) 。
(a)
为了求 ，我们利用 的积分为1的性质：
由于我们知道该积分等于1，因此 。
(b)
取值小于2的概率是 。
