泊松分布用在哪些场景？
泊松分布常用于工程与科学领域，描述“连续时间/空间维度上随机事件发生次数”的场景（如医院一个晚上的急救电话数量，模拟公交车在某站点上车的乘客数量等）。此时，随机变量（事件次数）是离散的，而参考空间（时间/空间）是连续的。 研究"某段时间内发生几次"的问题通常用泊松分布建模。
▲图1
1️⃣泊松分布的数学定义
1.1 泊松分布的概率质量函数（PMF）：
若随机变量 ，则其概率质量函数为：
其中参数 是泊松率（rate），表示单位时间/空间内事件发生的平均次数。
1.2 累积分布函数(CDF)：
图2 展示了不同 下的PMF和CDF曲线。 python代码见文末。
▲图2
1.3 期望与方差：
关键特性：期望 = 方差（这是泊松分布区别于其他分布的核心特征）。
上述公式的推导过程：
注：利用了指数函数的级数展开
利用公式
2️⃣泊松分布的应用--游客估计
设在某时段进人某景区游览的游客人数服从参数 的泊松分布，每位游客乘坐观光缆车的概率均为 ，且每位游客是否乘坐观光缆车是相互独立的。试估计进入该景区的游客乘坐观光缆车的平均人数。
游客是否乘坐观光缆车，符合二项分布的特征。这是泊松分布与二项分布的复合形式。
2.1 设定随机变量，明确已知分布
设进入景区的游客总人数为随机变量 ，已知 服从参数 的泊松分布，即 ，其概率质量函数为：
设乘坐观光缆车的人数为随机变量 ，已知每位游客独立乘坐缆车的概率 ，不乘坐的概率 。当进入景区人数为 时， 服从参数为 的二项分布，即条件分布为：
2.2 利用全概率公式展开计算
▲图3
如图3所示，设一个全集 包含3个独立且互斥的事件 满足 。同时 也包含一个事件 ，那么根据全集分解
根据全概率公式， 的无条件概率等于对所有可能的总人数 求和，此时的全集 应包含 种情形，即 。由于 时， ,求和从 开始：
将上述两个分布代入，展开得：
2.3 化简表达式推导分布形式
先展开组合数 ，代入后约去 ，整理可得：
令 ，则求和变量变为 ，求和式转化为指数函数的泰勒展开：
代入后化简：
综上，进入该景区的游客乘坐观光缆车人数 服从参数 的泊松分布，即
进入该景区的游客乘坐观光缆车的平均人数即为随机变量 的期望18
附：python画泊松分布的PMF和CDF
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
# 设置λ的取值和k的范围
colors_list = ['red', 'blue', 'green']
lambdas = [2, 4, 10]
k = np.arange(0, 21)
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5) )
for i in range(3):
px = poisson.pmf(k, lambdas[i])
ax1.scatter(k, px, s = 80, color = colors_list[i],
marker='o', alpha=0.99, label = f'λ={lambdas[i]}')
for j in range(21):
ax1.vlines(j, 0, px[j], color = colors_list[i], alpha=0.3)
ax1.set(xlabel ='k')
ax1.set(ylabel = 'P(X=k)')
ax1.set(title = '不同参数泊松分布的PMF')
ax1.legend()
ax1.set_xticks(range(21))
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.35)
ax1.set_ylim(-0.005, 0.3)
for i in range(3):
Fx = poisson.cdf(k, lambdas[i])
ax2.scatter(k, Fx, color = colors_list[i], marker='o',
label = f'λ={lambdas[i]}')
for j in range(21):
ax2.hlines( Fx[j], j, j+1, color = colors_list[i], alpha=0.6)
ax2.set(xlabel ='k')
ax2.set(ylabel = 'P(X≤k)')
ax2.set(title = '不同参数泊松分布的CDF')
ax2.legend()
ax2.set_xticks(range(21))
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
ax2.set_ylim(-0.02, 1.02)
# 调整布局并显示
plt.tight_layout()
plt.show()
fig.savefig("x.png", dpi=300)
