用sympy解力法、位移法方程_python-仿真秀干货文章

用sympy解力法、位移法方程

在结构力学中，力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。对于力法来说，未知量的系数包含这样的分数，在解力法方程的时候显得繁琐。本文利用sympy的符号运算功能，通过python编程来解力法方程。

▲图1

如图1所示的连续梁，取为基本未知量，力法典型方程为

为与sympy中的方程定义保持一致，将上述方程改写为

各系数和自由项如下:

python代码

  import sympy as sp

X1, X2, l, q, EI = sp.symbols('X1, X2, l, q, EI ')  #符号变量

delta_11 = delta_22 = 7*l/(12*EI)  #δ11 = δ22
delta_12 = delta_21 = l/(8*EI)
Delta_1P = q*l**3 /(24*EI)   #Δ1P
Delta_2P = 0

#力法方程
eq1 = sp.Eq(delta_11 *X1 + delta_12 *X2 ,  -Delta_1P)
eq2 = sp.Eq(delta_21 *X1 + delta_22 *X2 ,  -Delta_2P)

#求解
sol = sp.solve([eq1, eq2], (X1, X2))
sol

在jupyter或者marimo中的输出效果如下

▲图2

来源：数值分析与有限元编程

应变的度量

几何非线性问题有两种描述格式:完全拉格朗日格式(Total-Lagrangian，TL)和更新拉格朗日格式(Updated-Lagrangian，UL)。在完全拉格朗日格式中，所有静力学和运动学物理量总是定义于初始构型(也叫参考构型)，即在整个分析过程中参考构型保持不变;而在更新拉格朗日格式中，所有物理量参考于每一载荷增量或时间步长开始时的构型，即在分析过程中参考构型是不断更新的。拉格朗日(Lagrangian)应变定义在初始构型下，欧拉(Eulerian)应变定义于当前构型下。拉格朗日(Lagrangian)应变从参考构型出发，通过分析向量的长度平方变化(如图1所示)， ▲图1定义拉格朗日（Lagrangian）或格林（Green）应变张量：代入式(1)可得长度平方变化的表达式：用位移梯度表示拉格朗日应变。将变形梯度与位移梯度的关系代入，展开后可得：分量形式为：注意：无论哪种形式，拉格朗日应变都是对称二阶张量，即。欧拉(Eulerian)应变重复上述步骤，但这次使用当前构型（而非参考构型）其中，是空间变形梯度张量。定义欧拉应变张量为：代入式(6)可得长度平方变化的表达式：我们定义空间位移梯度张量为：利用链式法则，位移梯度满足，因此。将这些结果代入欧拉应变的定义，可得用空间位移梯度表示的欧拉应变：分量形式为：与拉格朗日形式类似，欧拉应变也是对称二阶张量，即。例子1🌰如图2所示，边长为的立方体产生变形 ▲图2其中为常数，确定立方体对角线的长度平方差。从映射关系直接可知，原点保持不动，原本在点的质点分别移动到点。因此，平行于平面内的质点仍留在这些平面内，正方形面变为上述的平行四边形。变形梯度参考构型下，对角线的线元，代入公式得：参考构型下，对角线的线元，代入公式得：参考构型下，对角线的线元，代入公式得：例子2🌰🌰如图3是一根初始长度为，截面积为的杆拉伸到长度为，截面积为，从初始构型到当前构型的简单映射 ▲图3轴向拉格朗日应变轴向欧拉应变除此之外，还有工程(名义)应变，对数(真实)应变等等。来源：数值分析与有限元编程