变分法(一）

咱们变分法想要解决的问题，其中就是一个：我们想要求一个特定的东西，可能是某一个形状，某一个曲面，某种分布或者就是一种特定形状的曲线，以及类似的各种奇奇怪怪的东西。这些东西怎么描述呢？我们可以把他们看成空间里面的点集（相应的我们可以在欧式空间中，建立起微积分和变分法，相应的，我们可以在其他类型的更加复杂的空间里建立分析学理论）。而我们的这些点集可以有各种各样不同的形状或者说是分布，于是我们构造出来大量的可能的各种各样不同的点集。我们就把这些点集放到同一个集 合里面去，称这一个集 合为M。在M里面。一种形状或者说是一个点集，我们可以直接把它看成一个点，一个元素点，就像在实数连系统里面取一个数字。接下来我们要根据这些点集或者形状去做各种各样的事情：我们有可能是想求他的某种度量的值，比如说面积，体积这些，还有可能是其他各种各样的东西。于是我们可以将M里面的每一个点和这个我们要求的值建立起映射的关系，于是我们得到了一个新的映射，这个映射我们称之为泛函。

我们称泛函的研究空间M，或者说就是定义域——如同欧式空间之于那些普通的一元或多元函数。我们在分析上称这样的空间为函数空间（因为一开始我们确实能够把这种点集看成函数，如同把一个一元实变函数看成一条曲线），力学上叫构型空间，几何学是叫模空间。就是“形状的空间”，“各种形状的集 合”。在我们研究的问题里面，函数空间肯定是无穷维的，这个是非常好理解的。

原来求极值的问题就变成了求泛函极值的问题。我们希望使用好普通微积分类似的方法。

现在来看泛函和普通的函数其实没什么两样。对于普通的函数来说，我们使用微分的方法可以求出他的各种特征点来，比如说极值点，拐点这些。为了解决原先提出来的问题，我们先来定义泛函的导数。

在导数的定义中，导数是这样定义的：一个一元实变函数，将函数的自变量加上德尔塔得到的一个值，再减去原来不加德尔塔a的那个值，再除以德尔塔a，然后让德尔塔a逐渐趋近于零取极限，如果这个极限存在，那么说到的这个值就是f(x)在这一点x上的导数。 

可以把变分法想象成一个“挑剔的捏陶师傅”：他面前有一大团泥（所有可能的形状），他想捏出一个水壶，让整个壶的表面积最小（最省材料）。他每捏出一个形状，都能算出它的总表面积。变分法就是他手指上的感觉：他在某个候选形状表面轻轻一按（施加一个局部变分），如果这一按让表面积变小了，说明这个形状还不是最优；他继续调整，直到无论他怎么轻轻按（施加任何微小变形），表面积都不再改变为止。这时他手上的形状，就是表面积最小的那个完美形状。

在数学里，那个“无论怎么微微调整，泛函值都不变”的条件，就凝练成了欧拉-拉格朗日方程。解它，就抓到了最优曲线。欧拉-拉格朗日方程

其实就是变分法里面的费马定理。

泛函也可以进行微分法里面相同的操作。刚才我们已经明确定义了，泛函的导数，就是第一变分；现在我们提出问题，我们想要求出M里面的某一个点来使得泛函取极小值或者极大值，而在这些点上，泛函Fréchet可导。

由于我们定义的M是一个无穷维的空间，那么我们可以去类比多元函数的情况：你站在一个山坡上，你走啊走，走啊走，最后你走到了一个谷点去。你向四周望去，每一个方向上，土石都向上延伸着。或者直接来说，你这里的梯度向量为零。那么我们需要在一阶变分里找到类似的梯度的这种东西，然后把梯度给他也变成零。费马定理。

当然，由于我们所取的泛函的那种方向导数，就是所谓的第一变分，一定可以有无穷个方向的，因为我们可以取无穷多种    。相应的这个梯度也就是无穷维的一个向量。那么我们下一步，究竟应该如何做？我们必须想方设法找到M里面的一个点，使得不管是在哪个方向上，也就是你取的那个η函数，不管他变成一个什么样，第一变分，永远是零。

那么我们必须找出这个命题的充要条件来。那么这下该怎么办呢？我们先来描述一下我们建立的泛函以及泛函的第一变分的结构。我们有一元泛函F(x,y,y',y''……)，其中x是y的自变量，这个x不一定是一个实数，它可以是一个向量，甚至是另一个泛函。当然这里我们取最简单的情况：我们就让x和y都是实数，y是关于x的1元实变函数。接下来该怎么办呢？

答案就藏在“把所有方向导数为零”这句话里。我们需要把它变成一个可执行的方程。

我们完全按设定的最简单场景：一元实变函数空间。

1. 写出一阶变分

你站在函数空间    的某个点    上。你的“方向”就是扰动函数    。泛函    沿    的一阶变分（方向导数）我们之前已用过，就是： 

 现在，对一个具体的最简泛函

来真正算出这个方向导数。

代入扰动： 

于是我们得到一阶变分：

2. 令一阶变分为零

我们需要找到一个特定的    ，使得无论用什么样的    ，    都是零。

也就是：对于所有允许的扰动函数    ，下面积分必须恒等于零： 

对第二项使用分部积分法：

设    ，    。则    ，    。 

 3. 欧拉-拉格朗日方程

现在，我们站在构建的逻辑终点。面对这个式子，要让它对所有    都为零。

对于固定边界问题：规定    。因此边界项为零。

于是，极值点y必须满足的条件就是： 

最后，要用到理所当然会想到的一个数学基本事实，就是变分法基本引理：

如果连续函数E(x)与任意在端点为零的光滑函数\eta(x) 的乘积的积分恒为零，那么 E(x)必须处处为零。

这不言自明：如果有哪个点    处    ，你完全可以构造一个只在它附近鼓起来的小包作为    ，这个积分就会大于零，与前提矛盾。所以，    必须被压得死死的，一点都冒不起来。

因此，我们得到充要条件： 

整个过程就是：

1.  泛函：    。

2.  方向导数（一阶变分）：求导，得    。

3.  让所有方向导数为零：用分部积分，把    的依赖转移到    的导数上。

4.  消去边界：用固定边界条件    。

5.  由变分法基本引理，迫使被积函数括号内部分为零。

它就是我们从“所有方向导数为零”这个原始命题里，推导出来的、唯一的、可计算的终极条件。它把一个无穷维空间里的极值点问题，一巴掌拍扁成了一个微分方程。找到它的解，就找到了那个让泛函停止变化的、函数空间里的极值点。