pinn求解三维固体力学问题（pytorch）论文名称《An introduction to programming Physics-Informed Neural Network-based computational solid mechanics》 问题描述 几何模型：完整立方体边长 。利用对称性，仅建模立方体的八分之一（如右图），以降低计算成本。载荷条件：在立方体顶部和底部表面 ( 和 ) 施加沿z方向的分布力 。载荷函数为： 边界条件：位移边界条件 (在对称面上施加)： 材料属性：杨氏模量 泊松比 为平面应力问题，Lamé常数 由 和 通过公式计算得到。神经网络架构设计该PINN模型采用多个独立的前馈神经网络来近似位移场。设计要素 具体配置 模型输入三维空间坐标 模型输出三个方向的位移分量 网络架构三个独立 的全连接前馈神经网络 (Fully Connected Neural Network, FNN) 单个FNN结构包含 4 层（输入层、隐藏层、输出层），每层有 20 个神经元 激活函数使用 tanh 函数（在FNN()函数中默认设置） 参数初始化使用 LeCun 初始化方案（在Input_Info()函数中定义） 训练采样点在计算域内生成 9261 个 均匀分布的样本点（间距 ） 物理信息嵌入与损失函数主要物理约束：平衡方程 (在计算域 内)： 力边界条件 (在力边界 上)： 位移边界条件 (在位移边界 上)： 损失函数类型：在此3D案例中，论文仅使用了配点损失函数 (Collocation Loss Function) 进行求解。能量基损失函数 (Energy-based Loss Function) 可以通过修改程序实现，但3D示例中未使用。**损失函数构建 (Collocation)**：损失函数是平衡方程残差和力边界条件残差的均方误差 (MSE) 之和： 其中， 是域内样本点总数， 是力边界上的样本点数。边界条件精确施加：对于固定的位移边界条件（如 ），采用了硬边界的方法来精确满足，而非将其作为损失项。这简化了损失函数，降低了训练复杂度。具体方法为： ，其中 是原始FNN输出， 是固定边界位置。数值实现流程一些关键问题由于在三维问题下，采样点会指数增加，例如采用 ，不可避免有内存超限问题。训练阶段def closure(self): self.optimizer.zero_grad() x, x1u, x1b, x2u, x2b, x3u, x3b = self.x_train ### 第1段：平衡方程残差（内域点） Gex, Gey, Gez = self.pinn.forward_ge(x) l1 = Loss_GE(Gex, Gey, Gez) l1.backward() l1_val = l1.item() del Gex, Gey, Gez ### 第2段：x面边界条件 s11u, s121u, s131u, s121b, s131b = self.pinn.forward_bc_x(x1u, x1b) l_x = Loss_BC_x(s11u, s121u, s131u, s121b, s131b) l_x.backward() l_x_val = l_x.item() del s11u, s121u, s131u, s121b, s131b ### 第3段：y面边界条件 s22u, s122u, s232u, s122b, s232b = self.pinn.forward_bc_y(x2u, x2b) l_y = Loss_BC_y(s22u, s122u, s232u, s122b, s232b) l_y.backward() l_y_val = l_y.item() del s22u, s122u, s232u, s122b, s232b ### 第4段：z面边界条件 s33u, s133u, s233u, s133b, s233b = self.pinn.forward_bc_z(x3u, x3b) l_z = Loss_BC_z(s33u, s133u, s233u, s133b, s233b, self.y_train) l_z.backward() l_z_val = l_z.item() del s33u, s133u, s233u, s133b, s233b ### 汇总 loss 数值 loss_val = l1_val + l_x_val + l_y_val + l_z_val return torch.tensor(loss_val) 将一次大的 forward+backward 拆分为4段独立计算，每段算完立即 backward 释放计算图。由于 zero_grad() 只在开头调用一次，4次 backward() 的梯度自动累积，数学上完全等价。后处理阶段n = xyz.shape[0]batch_size = 2000s1_list, s2_list, s3_list = [], [], []s12_list, s13_list, s23_list = [], [], []for i in range(0, n, batch_size): xyz_b = torch.tensor(xyz[i:i+batch_size], dtype=torch.float32, requires_grad=True).to(device) # 只需一组微分 + 一次 Material 调用 U_x, U_y, U_z, U_xx, U_xy, U_xz, U_yy, U_yz, U_zz = pinn.dif_x(xyz_b) V_x, V_y, V_z, V_xx, V_xy, V_xz, V_yy, V_yz, V_zz = pinn.dif_y(xyz_b) W_x, W_y, W_z, W_xx, W_xy, W_xz, W_yy, W_yz, W_zz = pinn.dif_z(xyz_b) _, _, _, _, _, _, s1_t, s2_t, s3_t, s12_t, s23_t, s13_t, _, _, _ = Material( U_x, U_y, U_z, V_x, V_y, V_z, W_x, W_y, W_z, U_xx, U_xy, U_xz, U_yy, U_yz, U_zz, V_xx, V_xy, V_xz, V_yy, V_yz, V_zz, W_xx, W_xy, W_xz, W_yy, W_yz, W_zz, pinn.E, pinn.mu) # detach() 断开计算图，只保留数值 s1_list.append(s1_t.detach().cpu().numpy()) s2_list.append(s2_t.detach().cpu().numpy())s1 = np.concatenate(s1_list)# ... 拼接其余分量 每个批次中：detach() 将结果从计算图断开，只保留纯数值下一轮循环中变量（xyz_b, U_x, s1_t 等）被重新赋值，旧对象的引用计数归零Python 引用计数机制立即回收旧对象，关联的计算图跟随释放 二维物理问题描述模型： 几何与建模：方板边长 利用几何对称性，仅建模方板的四分之一（如图12(b)），以降低计算成本载荷条件：在板的右侧（ ）施加沿x方向的分布力 载荷函数为： 边界条件：位移边界条件 (在对称面上施加)： 力（牵引力）边界条件：已由 在右侧边界施加材料属性：杨氏模量 泊松比 为平面应力问题，Lamé常数 由以下公式计算： 来源：我的博士日记
