
其中μ是剪切模量,λmax是链最大拉伸,κ是体积模量。
可压缩HS模型的Cauchy应力由以下公式给出:

在这个模型中,max(λ₁, λ₂, λ₃) < λmax。当λmax → ∞时,该模型变为NH模型。不可压缩HS模型在单轴、平面和等双轴变形下的Cauchy应力由以下表达式给出:

HS模型预测弹性体行为的准确性在图5.23中得到了展示。
HS模型的一个良好特性是,当μ > 0且λmax > 1时,该模型是无条件稳定的。
以下Matlab代码示例展示了如何实现可压缩单轴加载的HS材料模型。
defHS_3D(stretch, param):
"""Horgan-Saccomandi. 3D加载由拉伸指定。
param: mu, lamMax, kappa. 返回真实应力。"""
L1 = stretch[0]
L2 = stretch[1]
L3 = stretch[2]
F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]])
J = det(F)
bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T)
bstar2 = dot(bstar, bstar)
I1s = trace(bstar)
I2s = 0.5 * (I1s**2 - trace(bstar2))
mu = param[0]
lamM = param[1]
kappa = param[2]
fac = mu * lamM**4 / J
den = lamM**6 - lamM**4 * I1s + lamM**2 * I2s - 1
return fac/den * ((lamM**2 - I1s)*bstar + bstar2 - \
(lamM**2*I1s-2*I2s)/3*eye(3)) + kappa*(J-1) * eye(3)这段代码实现了Horgan-Saccomandi (HS) 3D模型,考虑了材料的可压缩性。该函数使用拉伸比来描述变形,并返回真实应力张量。
使用以下Python代码来应用可压缩单轴加载的HS模型:
from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *
trueStrain = linspace(0, 0.7, 100)
trueStress = uniaxial_stress(HS_3D, trueStrain, [1.0, 2.5, 1000])
plot(trueStrain, trueStress, 'b-')
xlabel('真实应变')
ylabel('真实应力 (MPa)')
grid('on')
show()这段代码使用了先前定义的HS_3D函数来计算可压缩单轴加载下的应力-应变关系,并绘制了相应的曲线图。参数[1.0, 2.5, 1000]分别代表剪切模量μ、限制链拉伸λmax和体积模量κ。绘制的曲线如下:


图5.23 Treloar[16]的实验数据和Horgan-Saccomandi模型的预测结果对比
Reference:
[33] C.O. Horgan, G. Saccomandi. Constitutive modeling of rubber—like and biological materials with limiting chain extensibility. Math. Mech. Solids, 7 2002 353-371.
[34] C.O. Horgan, J.G. Schwartz. Constitutive modeling and the trousers test for fracture of rubber-like materials. J. Mech. Phys. Solids, 53 2005 545-564.