【VUMAT 7】Neo-Hookean超弹本构VUMAT

目录：

• 超弹本构理论
• 内能耗散
• 应力应变关系
• 可压缩性
• Neo-Hookean超弹模型
• VUMAT实现Neo-Hookean超弹本构
  

超弹本构理论

内能耗散

超弹本构假设一基于参考构型（Reference configuration）的单位体积Helmholtz自由能    ，也称应变能密度（Strain energy density）应变能函数（Strain energy function）或弹性势（Elastic potential）。应变能函数是变形梯度（Deformation gradient）的函数，即    。

对于纯变形过程，内能耗散（Internal energy dissipation）    ，参考构型描述下，由Clausius-Planck不等式：

其中    为Kirchhoff应力张量，    、    为变形率张量，    ，    为旋转率张量；    为第一类Piola-Kirchhoff应力张量，    为变形梯度；    为第二类Piola-Kirchhoff应力张量，    为右Cauchy-Green变形张量，    为Green-Lagrange应变张量。

应力应变关系

由于    仅为    的函数，则应变能变化率为

由于    是客观的（坐标无关），即刚性转动不会导致    改变，有    ，其中    为任意正交张量（导致刚性旋转）。考虑变形梯度的极分解    ，由于    的任意性，取    （注意    为正交张量，正交张量的转置也为正交张量），且考虑    及    有

则

一类超弹本构是将应变能函数表示为Cauchy-Green应变张量（        ）不变量的函数

其中

且

则

代入    

可压缩性

变形梯度可以分解为纯剪切    和纯体积变形    两部分

则

及

由    

将应变能函数构建为    、        的函数

则结合    应力张量为

若应变能函数与    无关，则上式简化为

Neo-Hookean超弹模型

Neo-Hookean超弹模型中应变能函数

其中    、    。

利用    

VUMAT实现Neo-Hookean超弹本构

ABAQUS显式分析要求返回共旋坐标下的柯西应力，则根据张量的旋转变化

由于

结合    和上两式，有