《Mechanics of Solid Polymers》5.3.12 Gent模型

yunduan082

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5.3.12 Gent模型

Gent模型[32]是NH模型的一种扩展，旨在更好地描述大变形下弹性体类材料的响应。Gent模型的单位参考体积Helmholtz自由能由以下公式给出：

该表达式包含三个材料参数：剪切模量μ、控制大应变下有限链可伸展性的无量纲参数Jₘ，以及体积模量κ。Gent模型的Cauchy应力由下式给出：

在Gent模型中，第一不变量I₁始终小于Jₘ + 3，且当Jₘ → ∞时，该模型变得与NH模型相同。

不可压缩Gent模型在单轴加载、平面加载和双轴加载下的Cauchy应力分别由以下公式给出：

Gent模型预测弹性体行为的准确性在图5.22中通过与Treloar[16]的硫化天然橡胶数据进行比较来展示。

图5.22 Treloar[16]的实验数据和Gent模型的预测结果对比

对于不可压缩单轴加载，可以使用以下Matlab代码实现Gent材料模型：

function[stress] = mat_Gent(time, strain, params)
%mat_Gent Gent超弹性模型
%不可压缩单轴加载
%此函数使用真实应力和应变
mu = params(1);
Jm = params(2);
lambda = exp(strain);
stress = mu*(lambda.^2 - 1./lambda) ./ ...
    (Jm - (lambda.^2 +2./lambda - 3));
end

对于不可压缩单轴加载，Gent材料模型也可以使用以下Python代码实现：

from pylab import *

defGent(trueStrain, params):
"""Gent模型。不可压缩单轴加载。返回真实应力。"""
    mu = params[0]
    Jm = params[1]
    lam = exp(trueStrain)
return mu*Jm / (Jm - lam*lam - 2/lam + 3) * (lam*lam - 1/lam)

trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)
trueStress = Gent(trueStrain, [0.29, 86.0])

plot(trueStrain, trueStress, 'r-')
xlabel('真实应变')
ylabel('真实应力 (MPa)')
grid('on')
show()

这段Python代码定义了Gent模型函数，并绘制了一个应力-应变曲线图，展示了在给定参数下的模型行为。

以下代码示例展示了如何实现可压缩单轴加载的Gent材料模型。

defGent_3D(stretch, param):
"""Gent. 3D加载由拉伸指定。
    param: [mu, Jm, kappa]. 返回真实应力。"""
    L1 = stretch[0]
    L2 = stretch[1]
    L3 = stretch[2]
    F = array([[L1,0,0], [0,L2,0], [0,0,L3]])
    J = det(F)
    bstar = J**(-2.0/3.0) * dot(F, F.T)
    I1s = trace(bstar)
    devbstar = bstar - trace(bstar)/3 * eye(3)
return param[0]/ J / (1 - (I1s-3)/param[1]) * devbstar + \
           param[2]*(J-1) * eye(3)

该函数实现了3D Gent模型，考虑了材料的可压缩性。它使用拉伸比来描述变形，并返回真实应力张量。

使用以下Python代码来应用可压缩单轴加载的Gent模型：

from pylab import *
from Polymer_Mechanics_Chap05 import *

trueStrain = linspace(0, 0.8, 100)
trueStress = uniaxial_stress(Gent_3D, trueStrain, [0.29, 86.0, 100])

plot(trueStrain, trueStress, 'b-')
xlabel('真实应变')
ylabel('真实应力 (MPa)')
grid('on')
show()

这段代码使用了先前定义的Gent_3D函数来计算可压缩单轴加载下的应力-应变关系，并绘制了相应的曲线图。参数[0.29, 86.0, 100]分别代表剪切模量μ、Jm和体积模量κ。

绘制的曲线如下：

来源：ABAQUS仿真世界

在 3DEXPERIENCE 平台上模拟三维涡激振动 (VIV)

PART01什么是涡激振动（VIV）？涡激振动（VIV）是一种众所周知的现象，由流体流过钝体时产生的相互作用引起。当流体垂直于钝体时，这种效应最为显著。由于实际流体具有粘性，会在钝体表面形成边界层，该边界层容易脱离边界层形成涡旋，进而改变表面的压力分布。通常，这些涡旋的形成是不对称的，因此会在表面形成交变压力分布，从而促进钝体的运动。如果涡旋脱落的频率与结构的共振频率重合，则会产生显著的、甚至可能有害的变形。图1.圆柱体交替涡旋撕裂PART02涡激振动发生在什么地方？涡激振动（VIV）在相对较低的雷诺数（低速）下即可出现，如果流体是空气，则在高速下会发展成气动弹性“颤振”。这种现象最引人注目的例子是1940年塔科马峡谷悬索桥的坍塌（https://en.wikipedia.org/wiki/TacomaNarrowsBridge），当时一股相对较低的40英里/小时的侧风从峡谷向下吹来，将这座桥彻底摧毁。涡激振动（VIV）的物理机制已得到充分理解，尤其对于具有圆形截面的简单形状而言。恰好，圆形截面结构在工程领域较为常见，例如烟囱、高压电缆、系绳、管状支架、管道等等。在许多情况下，二维涡激振动问题足以近似描述其物理特性，但将涡激振动的数学模型扩展到三维则复杂得多，实际上只能通过数值模拟来实现。二维圆形截面结构的物理响应已被广泛研究，早在1878年，捷克物理学家VincenzStrouhal就提出了一个经验公式，将涡旋脱落的频率与截面直径和整体流速联系起来。图2.涡脱落的经验公式对涡激振动进行三维数值模拟需要将两个不同的物理系统连接起来：流体系统，其受速度、粘性剪切、压力和湍流控制；以及结构系统，其受柔度、应变和位移控制。此外，这两个系统必须在同一时间框架内求解，这意味着数值分析必须以协同模拟的方式进行。PART03流固耦合模拟设置数值协同仿真是一种可在3DEXPERIENCE平台上使用的解决方案技术。涡激振动(VIV)仿真是一个流固耦合(FSI)问题，它涉及构建独立的固体和流体仿真对象，并同时求解这两个对象，数据按指定时间间隔进行交换。对于使用3DSFLOW求解器求解的CFD模型（https://www.3ds.com/products-services/simulia/products/fluid-cfd-simulation/），牵引力矢量被导出到结构模型，而位移和速度则被导入。对于使用Abaqus求解器（https://www.3ds.com/products-services/simulia/products/structure-simulation/）求解的结构模型，情况则相反，位移和速度被导出，而牵引力矢量则从流体求解器导入。数据流由SIMULIA协同仿真引擎(CSE)控制。在模拟三维涡激振动时，有三个特别的挑战需要解决。例如，假设一根直径为0.2米的管道悬浮在水中，水流方向垂直于管道。管道两端分别接地，自由跨度为30米。流体模型和固体模型必须位于同一位置。图3.悬挂管道的一般布置用于流固耦合模拟的长结构网格划分易受涡激振动（VIV）影响的结构通常具有一个远大于其他两个维度的尺寸。虽然这通常不会对结构模型造成影响，但却会给流体网格带来问题。例如，在二维空间中，需要精细的离散化来表示管道周围的边界层，但在第三个维度上则需要更粗糙的离散化以减少单元数量。因此，六面体主导网格划分器（HexDominantMesher）并不适用于此应用，因为它试图在所有三个维度上均衡单元尺寸。网格拉伸技术更适合此应用，因为用户可以更好地控制三个方向上的网格尺寸。然而，为了使其有效，如果要将单元数量控制在实际可行的范围内，流动求解器必须能够处理100-200:1的单元纵横比。图4.管道周围的流体网格离散化首先，在整个流体域的一端指定一个二维表面网格，该网格由三角形和四边形单元组合而成，以便在管道初始位置附近获得足够的离散化。然后，将该表面网格用作模板，用于挤出三维流体单元以填充流体。因此，流体域由砖形和楔形流体单元组成。在仿真之前，表面网格被声明为“构造”类型，因此不参与CFD仿真。在这个例子中，模型利用了对称性，因此流体域只需要延伸15米。即便如此，流体域仍然包含超过100万个单元。图5.完整的流体域网格网格运动对于承受正常水流的悬空管道，管道会发生一定的振荡。由于3DSFlow既不允许创建也不允许删除流体单元，因此管道的运动必须由原始的流体单元网格来适应。3DSFlow求解器通过在每次求解迭代中根据用户指定的一些基本准则自动变形流体网格来实现这一点。在内部，流体网格被视为由可压缩的泡沫材料制成，该材料会随着管道的运动而变形，并且单元的变形方式与静态有限元模拟中的变形方式相同，这与流体求解完全独立。用户还可以通过网格运动对话框进行额外的控制，从而修改泡沫的局部刚度。例如，可以局部增加管道附近的泡沫刚度，使边界层单元在管道运动和网格变形时保持其形状。图6.管道运动过程中流体网格的变形显然，这种技术能够容纳的管道运动量是有限的，超过这个限度，元件就会变形过大，导致无法继续求解。但在这个例子中，振动管道的运动被毫无问题地捕捉到了。结构与流体模拟的耦合仿真中使用了两个独立的求解器，它们的解通过由“端口区域”定义的公共接口耦合。在流固耦合问题中使用两个独立的求解器，可以确保每个物理系统采用最高效的技术。解的完整性依赖于通过公共接口的精确数据交换，根据耦合强度的不同，可以采用不同的技术。耦合强度受多种参数影响，这些参数决定了耦合是弱耦合、中等耦合还是强耦合。弱耦合或单向耦合系统可以使用显式耦合方案求解，其中耦合界面处的流体和固体速度通常不匹配。这种方法适用于结构/流体密度比较大的模拟，例如气动弹性耦合。然而，如果耦合更强，例如在涉及液体的协同模拟中，则显式耦合方法可能会出现不稳定和精度不足的问题。2022xFD04版本的3DEXPERIENCE为SIMULIA协同仿真服务新增了外推方法、加速器、滤波技术和收敛准则，从而为隐式迭代耦合提供了最先进的协同仿真能力。特别是，准牛顿加速器从稳定性角度增大了收敛半径，使我们能够处理更强的物理耦合问题，并通过减少达到特定收敛准则所需的耦合迭代次数来降低计算量。此外，它们还使我们能够解决之前无法解决的强耦合物理问题。我们的VIV管道示例就是一个受益于这些隐式耦合方法的中等耦合问题。图7.流体和固体端口区域端口区域定义了协同仿真过程中数据交换的接口。固体模型和流体模型的端口区域必须在几何位置上重合。PART04流固耦合仿真设置管道结构模拟管道结构模型由单层C3D8I不相容模态单元构成，两端通过运动耦合连接至中心参考点。一端参考点完全固定，另一端则设定对称边界条件。所采用的分析程序是隐式动态分析，使用固定时间增量0.01秒。CFD模型代表水的流体域主要由6节点F3D6单元构成，管道周围则由8节点F3D8单元构成。入口边界条件设定法向速度为2m/s，压力边界条件与域出口端的静水压力梯度相匹配。对称面上定义了对称边界条件，除海底边界外，其他域边界均定义了滑移壁面条件（海底边界定义为无滑移边界）。采用固定时间增量0.01秒，指定了包含可实现K-Epsilon湍流模型的瞬态流体程序。协同仿真设置采用高斯-赛德尔算法的隐式耦合方案，固定数据交换时间为0.01秒。总求解时间为12秒。运行时诊断协同仿真运行时，应可查看cfd.sta文件。该文件详细记录了作业进度以及收敛的难易程度。图8.收敛历史的示例输出迭代收敛性采用两种度量方法：一种是绝对值，适用于流体与结构之间相对运动很小或没有相对运动的情况；另一种是相对值，适用于结构具有显著速度的情况。这些收敛值具有默认值，用户可以根据协同仿真的性质进行覆盖。无论达到的收敛值如何，软件都会强制执行至少三次外部迭代。PART05流固耦合仿真结果联合仿真结果包括定性和定量两方面；前者通常表现为水中的速度/涡度/压力等值线图以及管道位移，后者则以管道不同位置的时间-位移XY图的形式呈现。这可以衡量管道振动的振幅和频率。结构模型结果还包含管道的完整应力、应变和位移结果，可用于评估结构完整性和疲劳性能。图9.管道涡旋脱落图示为12秒模拟结束时水流速度分布图以及管道变形情况。可以清晰地看到涡旋的形成和管道脱落的模式。图中显示的是模型在对称面内侧的状态，这种模式在管道沿线的各个位置均有不同程度的重复出现。假设斯特劳哈尔数为0.2，则管道涡旋脱落频率可计算为：0.2xv/d=0.2x2.0/0.2=2Hz。如果圆柱体本身发生振荡，涡旋会在最大位移点或附近脱落，因此尾流宽度会增加。结果，压力阻力和横向力都会增加，振动频率会降低。图10.管道在对称平面上的横向和纵向位移上图所示的XY图显示了管道在对称面位置处的横向（粉色）和纵向（蓝色）位移振幅。通过观察，振动频率约为1.5Hz，该值与管道振荡导致的折减频率预测相符。当振荡达到“稳态”时，管道的峰峰值位移约为500mm，可以表示为圆柱体直径的2.5倍。图11.管道最大位移时的冯·米塞斯应力关于结构分析，SIM文件可以单独进行后处理，也可以与CFD结果结合进行后处理。图示为t=11.9秒时管道内的冯·米塞斯应力分布（图中结果已关于对称面镜像翻转）。如有必要，可将管道内的应力或应变值与振动频率结合使用，以评估疲劳性能。来源：ABAQUS仿真世界