弹塑性材料本构
1、屈服准则
1）Von Mises 屈服准则（J₂ 准则）
定义：基于畸变能，当材料的等效应力（Mises Stress）达到某个临界值时，材料开始屈服。与静水压力无关，非常适合描述金属材料的塑性起始。在主应力空间，它是一个以静水压力轴为轴线的圆柱体。
在单轴试验曲线中，很容易判断材料什么时候进入屈服状态，但是在多轴应力中不是那么直接。经过大量试验，Von Mises提出了等效屈服准则，当多轴应力满足下面的表达式时，就认为材料开始屈服。在应力空间，该表达式表示的是一个椭球面，也称为“初始屈服面”。Mises屈服准则在延性金属中广泛应用。
2）Tresca 屈服准则（最大剪应力准则）
当材料中的最大剪应力达到临界值时，材料开始屈服。比Von Mises准则更保守，数学上更简单，但在棱角处存在数值奇异性。
3）Mohr-Coulomb 准则 & Drucker-Prager 准则
考虑了静水压力对屈服的影响。主要用于土壤、岩石、混凝土等颗粒状或摩擦型材料。Drucker-Prager可看作是Mohr-Coulomb的平滑近似，便于数值计算。
2、硬化准则
定义：描述材料初始屈服后，屈服应力如何随塑性变形的发展而变化的规律。它决定了屈服面在塑性变形过程中的演化（大小、形状和位置）。
在单轴试验中，当材料进入屈服状态以后继续加载，屈服点会提高，提高后的屈服点称为“后继屈服点”。材料屈服后在一个方向上的强化可能对另一个方向有一定的弱化作用，也可能不影响。
对于多轴应力状态，材料过屈服点后的强化表现为椭球面半径的增大、椭球中心的移动。对于以上三种情况，椭球面的变化如下。
1）各向同性硬化，屈服面在应力空间中均匀膨胀，大小改变但中心位置和形状不变。椭球半径变大，椭球中心位置不变。特点是无法描述包辛格效应，适用于单调加载或比例加载情况。计算简单高效。
2）随动硬化，屈服面在应力空间中平移，大小和形状不变。椭球半径不变，椭球中心位置变化。通常通过背应力 α 来描述屈服中心的移动，特点是能精确描述包辛格效应，适用于循环加载和反向加载的疲劳分析。
3）混合硬化，各向同性硬化和随动硬化的结合。屈服面既可以膨胀也可以平移。椭球半径变大，同时椭球中心也发生了移动。特点是最符合金属材料实际循环加载行为的模型，广泛应用于复杂的非线性力学分析
硬化准则可表示为
式中， σ ij 为应力分量； α ij 为背应力分量； ε p 为等效塑性应变； σ p 为后继屈服应力。
当 α ij =0、后继屈服点是等效塑性应变的函数时，表示各向同性硬化；当 αij ≠0、后继屈服点不变时，表示随动硬化；当 α ij 不等于0，同时后继屈服点是等效塑性应变的函数时，表示混合硬化。
3、流动准则
定义：确定当材料发生塑性变形时，塑性应变增量的方向（即塑性应变率张量的方向）。塑性应变增量方向垂直于屈服面。流动准则是材料屈服后塑性应变增量方向的假定。
特点是适用于金属材料，与实验观察吻合良好。它将屈服函数和塑性势函数设为同一个，极大地简化了计算。
当塑性应变增量与加载面满足正交关系时，称为“塑性应变增量的正交流动法则”，其表达式为
式中，
为塑性应变分量的增量；
代表加载面的外法线方向；d λ 是一个非负的比例因子。延性金属一般采用正交流动法则。
4、等效塑性应变
在弹塑性分析中，总应变是弹性应变和塑性应变的和，可表示为
式中， ε ij 为总应变分量；
为弹性应变分量；
为塑性应变分量。
类似于等效应变的定义，可定义等效塑性应变
为
等效塑性应变在循环载荷作用下可能增加，也可能减小，这是因为塑性应变分量在循环载荷作用下可能增加，也可能减小。例如，试件初始受拉屈服，塑性应变分量变大，等效塑性应变也变大；然后卸载，塑性应变分量保持不变，等效塑性应变也保持不变；接着反向加载，塑性应变分量减小，等效塑性应变也就随之变小了。
弹塑性分析中还存在另外一种塑性应变的度量，即累积塑性应变，累积塑性应变可表示为
式中，
为塑性应变分量的增量。
从这个表达式可以看到，首先求塑性应变增量的等效塑性应变，然后再对增量等效塑性应变求积分。塑性应变增量的等效塑性应变始终为正，因此累积塑性应变始终增加，不会减少。从上面的表达式中可以看到，等效塑性应变是基于塑性应变分量的全量，累积塑性应变是基于塑性应变分量的增量，一般来说两者的结果是不同的。
