力学概念 | 欧拉公式的统一推导
材料力学中对细长压杆临界压力欧拉公式的推导，通常是分几种不同的支承条件，列出各自的挠曲线近似微分方程来求解。
本文利用二阶分析思路，细长压杆发生微小弯曲后的平衡条件建立近似微分方程，得到了挠曲线初参数解及确定压杆临界压力的统一公式(图1)，式中包含了压杆端部的力和变形的边界条件，利用统一公式可得到几种不同支承条件下压杆的临界压力.
▲图1
设有一受轴向压力 作用的细长压杆AB，最小抗弯刚度为 ，压杆长度为 (图1a).取出长为 的一段，不失一般性，还应考虑压杆横截面上的剪力，以及A端的挠度 ，转角 以及A端的剪力 ，弯矩 ，如图1b所示，建立平衡方程
将弹性挠曲线近似微分方程 代入上式得
记 ，(2)可写成
(3)即为压杆弯曲近似微分方程，是二阶常系数微分方程。其特征方程为
解得 。故齐次方程的通解为
其中 为任意常数。设非齐次方程的特解形式为
代入(3)得
方程(3)的通解为
根据边界条件： 时， 以及 可求得系数
综上，方程(3)的通解为
式中 分别为压杆在 处的挠度、转角、剪力和弯矩。(9)求二阶导，代入 得
式(10)即为推导不同支承条件下细长压杆欧拉公式的基本方程，式中同时含有压杆的轴向力和变形的边界条件。
(1)一端固定，一端铰支
▲图2
如图2所示，设 处为固定端， 处为铰支端。边界条件为 ， ， ， ，代入式(10)得
进一步化简为
此方程最小根为 ， ，于是可得临界压力 。
(2)两端铰支压杆
▲图3
如图3所示，边界条件为 ， ， ，代入式(10)得
由于 ，故 ，最小根为 ， ，于是可得临界压力 。
(3) 一端固定，一端自由压杆
▲图4
如图4所示，设 处为固定端， 处为自由端。边界条件为 ， ， ，代入式(10)得
由于 ，故 ，最小根为 ， ，于是可得临界压力 。
(4)一端弹性支承，一端自由
▲图5
设 处为弹性支承，弹簧转动刚度为 ， 处为自由端(图5)。边界条件为 ， ， ，代入式(10)可得
由于 ，化简后为 。求解出 以后，便可得到临界压力 。
(5)一端弹性支承，一端铰支
▲图6
设 处为弹性支承，弹簧转动刚度为 ， 处为铰支端(图6)。边界条件为 ， ， ，代入式(10)得
由于 ，化简后为 。求解出 以后，便可得到临界压力 。
