应力分析内容精要
2.1外力的表示方法
弹性体所受的力可分为外力和内力两大类。外力是作用在弹性体上的力，它包括体积力和面力。体积力是作用在物体体积内每一点的力，例如重力。面力是分布在物体表面上的力，或者说是两物体通过表面的相互作用而产生的力，例如液体或气体的压力、固体之间的接触力，等。这些体积力和面力如何表示呢？
体积力f的表述，表述物体中一点所受体积力的大小和方向时，过该点取一微小体积，该体积上有作用力，这时体积力的大小定义为体积取向0时作用力的极限值。体积力的方向为极限值的方向。体积力的量纲是单位体积的作用力。为了研究方便，将体积力分解到3个坐标轴方向，用下标区别方向。请注意：和以往的力学不同的是，这里的力不再取平均值而是随位置变化的函数，以后各物理量也是如此，不再简化考虑为平均值。
面力F表述：表述物体表面一点受的力的大小时，过该点取物体表面的一微小面积，作用在微小面积上的力当面积趋向0时的极限值。面力方向为极限方向。面力的量纲表示单位面积上的作用力。为了研究方便，将面力分解到3个坐标轴上，依然用下标区别方向。
2.2 内力的表述
内力是由于外力作用而引起的物体内部各点之间相互作用的力。内力通常以应力的形式表示，比如材料力学中，梁截面上的正应力、剪应力等，应力是单位面积上的作用力，量纲和面力是相同的。
应力如何表述呢？
表述方法一：比如一个物体，用假想截面截开，假想面上有应力作用，因此应力是一个面力，用FN表示该面上的应力矢量，N表示作用面的法方向。
为了便于研究，应力矢量沿坐标轴方向进行分解，比如，分解为Fx、Fy和Fz，这是应力用三个量的表述方法。
应力矢量沿作用面的法向和切向进行分解，就可以得到法向应力和切向应力，这是应力用两个量的表述方法。
这些方法都是从一个面出发的表述，不能全面反映内力的随方向不同而不同的特点，即内力是有多方向的复杂量，完整表述这一特点，应用一新的概念，二阶张量，就像一个矢量有三个分量一样，二阶张量共有9个分量，表述用带两个下标的应力符号，第一个下标代表力作用的面的法线方向，第二个下标代表力的作用方向。当下标相同时表示法向应力，角标不同时表示剪应力，由于剪应力互等，即剪应力记号的两个下标字母可以对调，不影响其大小，因此9个量中独立的量只有六个，分别是三个正应力和三个剪应力。
材料力学研究的是杆件受力，杆件是一维物体，只能受简单力作用，比如拉压剪等，而弹性力学研究对象是空间体，受力复杂，因此内力也是复杂的，不再是只有一个不为零的应力，只有一个不为零的应力状态是最简单应力状态了。
至此，应力可以用一个量表达，即应力矢量；两个量表达，分别是法向应力和切向应力；三个量表达，它是应力矢量沿坐标轴方向进行分解得到的三个分量；6个量表述，即三个正应力和三个剪应力；最完整的是9个量的表达。
弹性力学中的物理量的正负符号如何规定呢？
位移的规定：沿坐标轴正向的位移为正，沿坐标轴负向的位移为负。
外力的规定：无论面力或体积力，力的作用方向沿坐标轴正方向的为正，力的作用方向沿坐标轴负方向的为负。
正负面的规定：平面的外法方向和坐标轴正向一致为正面，平面的外法方向和坐标轴负向一致为负面。
应力的规定：正面上正方向作用的应力为正，负面上负方向作用的应力为正，正面负向和负面正向的应力为负。法向应力可简单表述为以拉为正。
应变的规定：正应变以伸长为正，收缩为负；剪应变以直角变小为正，直角变大为负。
2.3一点应力表述之间的关系
应力矢量可以分解为正应力和剪应力，也可以分解为三个坐标应力，这些表述方法之间的关系是简单清晰的。三个坐标应力与6个应力分量之间有何关系呢？
分析任一斜面上的应力时，首先作一斜面与该斜面平行，二者之间的距离为h，当h趋向于0时，这两个面上的力则趋于相同。因此分析新作斜面上的三个坐标应力和6个应力分量之间的关系也是一样的。
研究一点的应力，以该点为原点，作空间坐标系，新作的斜面和坐标面围成一四面体，新作斜面的面积可以确定，斜面至原点的距离也可以确定，则四面体的体积是确定的，而四面体的其它三个坐标面的面积也是确定的，具体大小和斜面的面积以及斜面的方向余弦有关。
分析该四面体三个方向的受力平衡，就可以得到三个坐标应力与6个坐标应力之间的关系了。这个关系就是柯西方程。柯西是弹性力学介绍的第一个贡献大的学者。
注意，如果这个斜面就是物体表面，此时柯西方程表示外力中的面力与内力之间的平衡关系。
注意分析受力平衡时，不要混淆力的作用方向和应力正负的概念。受力平衡考虑的是一个方向上的受力情况，可假设面力、应力都是正的。而具体弹性体受力是有正有负的，根据具体方向分析平衡，分析的方法是一致的。
根据柯西方程，可以推出由一点的6个应力分量计算斜面应力矢量的大小，斜面上正应力和切应力的大小。但是应力矢量的方向和切应力方向是空间方向，虽是确定的却不好简单表述其正负，因为正负是相对坐标方向而言的，斜向的正负是无意义的。
分析四面体的力矩平衡可以证明剪应力互等定律。
2.4主应力及主方向确定
已知一点的6个应力分量，过该点任一面上的法向应力和切向应力的大小是可以计算的。如果过该点的某个截面上，只有正应力作用而剪应力为零，这样的面称为应力主平面，其法线方向称为应力主方向，相应的正应力称为主应力。如何求主应力和主平面呢？
求主应力的大小：主应力的大小和主平面的方向余弦这4个量都是未知的；将其带入柯西公式，和6个应力分量表述的柯西公式对应相减，得到三个方程，加上方向余弦的平方和为1的方程，共4个方程，4个未知数，求解方程组就可以得到主应力和主方向了。主应力是正应力的极值，极值共有3个，即一点有三个主应力。
至此，一点应力可以用6个应力分量表述，也可以用三个主应力表述。应该注意的是，主应力是三个值，但主方向却有六个，比如有东方向，一定有西方向与之平衡。
2.5最大剪应力确定
已知一点的主应力，根据摩尔圆就可以很简便的求出最大剪应力了。也可以这样分析，选取主应力方向作为坐标系方向，过该点任一平面的3个坐标分量可由该点的主应力表示。任一平面面上的剪应力也和主应力相关，求剪应力的极值就可得到最大剪应力了。
2.6平衡微分方程
平衡微分方程表示体积力和6个应力分量之间的关系。
从物体中取出任一微元体进行受力平衡分析。取微元体为平行六面体，各面分别平行于坐标面。六面体的边长都是微小量，微元体受体积力和面力作用，微元体三个方向上的体积力是各方向上单位体积的力与体积的乘积，各面上的面力是应力与作用面积的乘积，注意，由于应力分量是坐标的连续函数，所以各相对面上的应力是不同的，由于体积微小，可以用泰勒级数展开表示其应力增量。
分析三个方向的受力平衡和三个方向的力矩平衡。由三个方向的受力平衡得到体积力和应力之间的约束关系，而三个方向的力矩平衡再次证明了剪应力互等定理。
体积力和应力之间的关系，共有三个，称为平衡微分方程，这是弹性力学中基本方程之一，也是力学分析中重要的方程之一。
直角坐标系下的平衡方程是很工整地，而柱坐标、球坐标下的平衡方程则形式上复杂得多，分析过程也复杂，但分析方法是相同的。有兴趣的可以自己推导。
至此，根据一点的6个应力分量，可以计算正应力和剪应力的极值及其方向，也可以确定任意面上的应力矢量，也清楚了内力和外力之间的约束条件了。如何计算应力呢？任重而道远，慢慢来吧。
