弹性力学问题汇总内容精要
弹性力学问题中，简单的是平面问题，复杂的是空间问题。一维问题在材料力学中已经研究过，由于简化过多，弹性力学不研究一维问题。
平面问题有两种，一种是板状弹性体，只受板面方向的外力，外力沿板厚度方向是不变的，因此可以推测应力与板厚无关，和厚度有关的三个应力均为0，此时，6个应力分量只有板面方向的3个不为0的应力了。此类问题称为平面应力问题。
还有一种问题，弹性体为等截面的长柱体，长柱体受力不沿长度方向改变，由此可以推测任何一横截面都是对称面，因此和长度有关的三个应变均为0,6个应变分量中只有横截面方向的3个不为0的应变了。此类问题称为平面应变问题。
无论哪一种平面问题，其主要面上的应力场是相同的，应变和位移规律是相同的，只是比例系数不同而已，比如把E换成E/(1-ν2), ν换成ν/1-ν,此时平面应力问题的位移就变成了平面应变问题的了。
这两种平面问题，其应力解答相同，位移解答相似。平面问题的未知数只有8个，即3个应力，3个应变和两个位移。未知数的减少使问题的求解极大的简化，因此，平面问题是弹性力学解决最好的。解决的好方法是应力解法，因为应力未知量有三个，真实的应力需要满足柯西方程、平衡微分方程和变形的约束条件，满足所有这些条件的方程称为应力解法的基本方程，可幸的是，平面问题的应力解法的基本方程只有一个，猜测一个未知函数的解答，就可以得到真实的应力了。猜测的这个与应力有关的函数，称其为应力函数。应力解法就是猜测满足基本方程的应力函数可能的形式，并满足应力边界条件就可以了。
请注意，弹性力学边值问题原来是求解15个方程组，现在变成求一个高阶方程，这一变化是非常重要的。问题求解由原来的无从下手变得目标单一，即求一个应力函数即可。
这里汇总一下，常见的应力函数有哪些。
对于矩形弹性体，没有空洞时，应力函数取一次二元多项式时，此时对应0应力场。因此，应力函数可以忽略一次多项式。
应力函数取二次二元多项式时，此时对应均匀应力场，比如简单的拉伸所对应的应力场。
应力函数取三次二元多项式时，此时对应的是简单应力场，比如矩形梁的纯弯曲问题，三角形坝受水压力作用问题。
矩形的悬臂梁受端部集中力作用问题，其应力函数是四次二元多项式。
矩形简支梁受均布载荷作用，其应力函数是五次二元多项式。
矩形坝受水压力作用时的应力函数是六次二元多项式。
以上这些问题，都是直角坐标下的求解。若是圆形，或者是圆形的一部分，这样的弹性体的平面问题，在柱坐标下求解是更方便的。
请注意，柱坐标下的平衡方程，几何方程和直角坐标的形式是不相同的，其推导原理和直角坐标的相同，但推导过程繁琐的多。想检查自己数学知识的同学，不妨试试这些方程的推导。
柱坐标的平面问题应力解法，也是猜测应力函数，只是应力函数的影响因素是径向和环向，不再是x和y而已。
最简单的应力函数，与环向无关，只与径向有关，即过一个轴的所有平面都是对称面，这是轴对称问题，此时应力函数的基本方程是欧拉方程，其解答是有成熟方法的。比如厚壁筒受均匀的内外压力作用，曲梁的纯弯曲问题，都是轴对称问题。
悬臂曲梁端部受集中力作用，根据任一截面的弯矩与角度的关系，以及弯矩与环向应力的关系，推测应力函数的形式。
半无限楔形体平面，楔顶受集中荷载作用，由任一点的径向应力的特点，去推测应力函数的形式。
平面问题最后介绍一大板开小孔的应力集中问题。由于有空洞存在，使应力场分布显著改变，某个方向的应力增大几倍，这种现象为应力集中现象。由于空洞是局部的，因此影响也是局部的，超过一定范围，其应力场是无孔时的应力场。此问题求解时用到了叠加原理，因为弹性力学的基本方程是线性的，因此外力、内力和变形都是可以叠加的。
对于空间问题呢，位移解法介绍自重应力下的地基，此时只有一个不为0的位移，而且位移的影响因素只有深度一个因素，用位移解法是容易的。而集中力作用的地基问题，求解过程复杂，对土木工程又是一个重要问题，因此介绍了应力和位移的解答。
空间问题的应力解法，介绍了等截面直杆的扭转问题，即猜测扭转应力函数。扭转问题求解困难，更形象的可以用张在一定形状上的薄膜，这个形状就是直杆的等截面的边界围成的，薄膜受内压作用产生的变形和扭转的应力函数是同一个数学问题，因此用薄膜受压来对比直杆扭转，因此称为薄膜比拟法。
这些问题，都是数学弹性力学问题的成果。
最后，介绍一个与土木工程有关的一个工程弹性力学问题，这就是薄板的挠度问题，它是长粱挠度这个一维问题在二维中的扩展。
要求解薄板挠度，需进一步简化问题，比如认为板中存在没有拉长也没有缩短的中平面，中平面的变形只考虑挠度而忽略板面方向的位移，最后忽略横向荷载产生的正应变。此时，中平面的位移只有一个不为0的量，即挠度，猜测满足位移解法基本方程的挠度的形式，并满足边界条件时就是真实的位移了，接着可求出板的应力，继而求出板内的弯矩、扭矩和剪力。应该注意的是，此时的未知量为挠度，因此边界条件应该写成与挠度有关的形式。
常见的板挠度问题，有简支的矩形板，两边简支的矩形板和圆板的挠度问题。
好，弹性力学就介绍到这里。
