弹性力学那些事| 解密平面问题的奇妙世界（上）

第一节  平面问题的基本方程：搭建理论大厦的基石

平面问题在弹性力学中占据着重要地位，它将复杂的三维空间问题简化为二维平面，大大降低了分析难度。而平面问题的基本方程，就像是搭建这座理论大厦的基石。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。以飞机机翼为例，当机翼厚度远小于其他尺寸，且载荷只作用在机翼平面内时，就可看作平面应力问题；而像大坝，由于其长度和宽度远大于厚度，且沿长度方向受力均匀，这种情况则符合平面应变问题的特征。 在平面应力问题中，基本方程包含平衡方程、几何方程和物理方程。

• 平衡方程：在二维平面内，物体处于平衡状态时，在 x和y方向的力的平衡条件分别为：

这就好比天平两边的砝码重量相等时天平才能保持平衡。

• 几何方程：反映了物体变形与位移之间的关系，对于平面问题，有：

例如拉伸一根弹簧，弹簧的伸长量和两端施加的位移有着特定联系。

• 物理方程：揭示了应力和应变之间的关系，基于胡克定律，在平面应力状态下有：

这就像拉伸橡皮筋，拉力越大，橡皮筋伸长越多，应力和应变呈线性关系。

第二节 应力函数 逆解法与半逆解法：破解问题的智慧钥匙

面对复杂的弹性力学问题，如何求解成为关键。应力函数的引入，为我们提供了一把破解问题的智慧钥匙。应力函数    满足    通过它，我们可以将应力分量用一个函数表示出来，从而简化方程求解。 逆解法和半逆解法是基于应力函数的两种重要求解方法。

• 逆解法：就像是先给出答案，再去验证这个答案是否正确。比如，我们先假设一个应力函数形式，如      （A为常数），然后将其代入平衡方程和相容方程（平面问题中应力函数需满足的条件）：      若满足条件，再根据边界条件确定函数中的常数，从而得到问题的解。以一个简单的矩形薄板受纯弯曲为例，通过假设合适的应力函数形式，经过一系列推导和计算，就能得出薄板内的应力分布。

• 半逆解法：根据问题的特点，先猜测一部分应力分量的形式，再通过应力函数求解其余应力分量。例如，在分析受均布载荷      的简支梁时，根据梁的受力特点和变形特征，先猜测      的形式，再利用应力函数求出整个梁的应力分布。

逆解法和半逆解法虽然有效，但对于一些复杂边界条件或形状不规则的问题，使用起来仍有局限性。而复变函数表示的引入，正是为了突破这些局限，为弹性力学平面问题的求解开辟新路径。

第三节 应力函数的复变函数表示：开启全新的解题视角

复变函数的引入，确实为应力函数的研究带来了革命性的变化。简单来说，复变函数是处理复数变量的函数，它具有许多实变函数所不具备的优良性质。在弹性力学中，应力函数用于描述物体内部的应力分布。传统上，使用实变函数求解应力函数在某些复杂形状的物体时可能会遇到极大困难。然而，复变函数提供了一种全新的视角和解决方案。

通过将应力函数表示为复变函数的形式，我们可以利用复变函数的解析性、柯西积分公式等强大工具，将复杂的边界条件和应力关系简化为更易于处理的数学表达式。例如，在求解带有圆孔的无限大板在拉伸载荷下的应力分布时，选择合适的复变函数后，原本复杂的计算问题变得相对简单。

复变函数的引入不仅简化了计算过程，还提高了求解的准确性和效率。因此，可以说复变函数为弹性力学中的应力函数研究提供了强有力的支持，是求解复杂弹性力学问题的有力武器。

设复变量    ，应力函数可以表示为复变函数的形式：    其中，    是复变函数。对于一些形状复杂的物体，在实变函数中求解应力函数可能会非常困难，但利用复变函数，我们可以将物体的边界条件和应力函数之间的关系用更简洁的形式表达。像求解带有圆孔的无限大板在拉伸载荷下的应力分布，通过设定合适的复变函数，利用复变函数的性质和运算规则，就能大大简化计算过程，快速得出应力分布规律。

第四节 应力与位移的复变函数表示：深度探索力学奥秘

除了应力函数，应力与位移也可以用复变函数表示，这使得我们能够更深入地探索弹性力学的奥秘。应力和位移与复变函数φ(z)和ψ(z)的关系如下：

其中，κ是与材料有关的常数，上划线表示复数的共轭。以一个受集中力F作用的半无限平面为例，通过设定合适的复变函数φ(z)和ψ(z)，利用上述公式，我们可以精确地计算出半无限平面内任意一点的应力和位移。这种方法不仅能够得到准确的结果，还能帮助我们理解应力和位移在物体内的传播规律，就像水波在水面上的扩散，通过复变函数我们能清晰地描绘出这个过程。

第五节 多连域内应力与位移的单值条件：确保答案的唯一性

在弹性力学中，多连域问题是指物体内部存在孔洞或缺口等不连续区域的情况。对于多连域内的应力与位移求解，单值条件至关重要。在多连域中，位移单值条件要求绕任意封闭曲线一周后，位移的变化为零。以复变函数表示时，对于绕孔洞一周的封闭曲线C，有：

其中，s是曲线的弧长参数。在分析带有圆形孔洞的平板受力时，如果不考虑单值条件，可能会得到多个看似合理的解，但这些解中只有满足单值条件的才是正确的。通过单值条件，我们可以对求解结果进行筛选和验证，确保得到的应力和位移分布是唯一且合理的。

第六节 保角映射：变换空间的神奇魔法

保角映射就像是一种变换空间的神奇魔法，它能够将复杂形状的区域变换为简单形状的区域，从而简化弹性力学问题的求解。设z平面上的区域D通过保角映射z=ω(ζ) 变换到ζ平面上的区域D ′，在ζ平面求解应力和位移问题后，再通过逆映射回到z平面

例如，将一个不规则形状的弹性体区域通过保角映射变换为圆形区域，在圆形区域中求解应力和位移会相对简单。假设在ζ平面内，应力函数为Φ ′(ζ)，通过映射关系可以得到z平面内的应力函数Φ(z)。像求解一个带有复杂边界形状的薄板在受力时的应力分布，利用保角映射就能将问题变得易于处理，快速得到准确的应力分布结果。弹性力学第六章的平面问题解答，每一个知识点都蕴含着无限的智慧和奥秘。从基本方程的搭建，到各种求解方法的运用，再到复变函数和保角映射等强大工具的助力，它们共同构建起了一个完整的平面问题分析体系。希望通过今天的分享，能让你对弹性力学平面问题有更深入的理解和认识，也期待你在后续的学习和研究中，继续探索弹性力学的奇妙世界，发现更多有趣的知识！如果你在学习过程中有任何疑问或想法，欢迎在评论区留言交流～