精通流体力学仿真必会基础知识（2）
流体静力学
静止状态下流体之间及流体与物面之间的作用是通过静压力的形式来表现的。本章的中心问题是研究静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用物面上的总压力。
静止――指流体质点间没有相对运动的状态。包括：谓绝对静止、相对静止。
粘滞性在静止流体中显现不出来。本章所得到的流体平衡规律――理想流体和实际流体均适用。
一、流体静压力及其特性
静压力
1．定义
设在作用微元面积△A上的法向力为△P，则极限
流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，称为流体静压力，简称压力，用p表示。其单位为N/m2，称为帕斯卡，简称帕（Pa）。作用在某一面积上的静压力的合力称为总压力，以P表示，其单位为牛顿（N）。
2．常用的压力单位
帕(Pa)、kPa(103Pa）、MPa(106Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，
3．换算关系
静压力的两个重要特性
特性之一：静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面。
特性二：静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关。
证明：
dx、dy、dz的大小是任取的，所以△ABC的外法线方向n也是任意的。
流体处于静止状态时，作用在流体上的合外力在任一个方向的分量都应为零。
首先，流体在x方向的受力
（1）质量力
（2）表面力
（3）合外力为零
令dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点o时，忽略高阶小量dxdydz则可得
同理
二、流体平衡微分方程式
分析静止流体中流体微团的受力――建立起平衡微分方程式――积分便可得到各种不同情况下流体静压力的分布规律。
流体平衡微分方程式的建立
1．方程的建立
首先，分析x方向上的受力。
（1）表面力
作用在A1和A2点所在面上的总压力分别为
（2）质量力――Xρdxdydz
（3）合外力为零
同理，在y、z方向，可得
又称为欧拉平衡方程式。
2．适用条件：绝对静止、相对静止状态；不可压缩流体、可压缩流体。
3．物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。
4．矢量形式
等压面
1．定义
在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。液体的自由液面便是一个特殊的等压面。
2．等压面方程
将平衡微分方程分别乘以dx、dy、dz再相加，整理后可得
因为在等压面上dp=0。所以等压面方程为
3．等压面最重要的一个性质――等压面与质量力垂直。
证明：
设：dl = dxi + dyj + dzk是等压面上的任意微元矢量，作用在单位质量流体上的质量力f = Xi + Yj + Zk。将dl与f做数量积，则有
dl与f互相垂直。由于质量力与等压面内任意的微元矢量互相垂直，所以等压面与质量力相互垂直。
意义：的方向可以确定等压面的形状，也可以根据等压面的形状确定质量力的方向。
三、重力作用下的流体平衡
静力学基本方程式
图所示为一敞口容器，其中盛有静止的均质液体, 其密度为ρ=c。单位质量流体所受到的质量力可表示为
；
代入，可得
或
对均质流体，密度ρ为常数，则有
所以有
对如图中所示的静止流体中的任意两点
上式称为静力学基本方程式。适用条件是：重力作用下静止的均质流体。
静力学基本方程式的意义
1．几何意义
测压管到基准面高度由z和p/ρg组成。
①z位置到基准面的高度，称为位置水头；
②p/ρg表示该点压力折算的液柱高度。称为压力水头，
③z＋p/ρg称为测压管水头。
几何意义：静止流体中测压管水头为常数。
如果容器内液面压力p0大于或小于大气压pa，则测压管液面会高于或低于容器液面，但不同点的测压管水头仍是常数。
2．物理意义
①z单位重力流体所具有的位置势能，称为比位能；
② p/ρg代表单位重力流体所具有的压力势能，简称比压能；
③z＋p/ρg称为静止流体的比势能或总比能。
物理意义：静止流体中总比能为常数。
流体静力学基本公式及其应用
在工程实际中，最常见的流体平衡是质量力仅在重力作用下的平衡，即所谓绝对静止。下面分析绝对静止流体中静压力的分布规律。
1．流体静力学基本公式
确定图示的静止流体中A点的静压力。
边界条件z=0，p=p0，可确定中的常数c=p0，则静压力的分布规律
用深度坐标来计算静压力，即用
=-z，则上式可变为
上式称为流体静力学基本公式。
表明：
(1)重力作用下的均质流体内部的静压力，与深度h呈线性关系；
(2)静止流体内部任意点的静压力由液面上的静压力p0与液柱所形成的静压力ρgh两部分组成，深度h相同的点静压力相等；
(3)静止流体边界上压力的变化将均匀地传递到流体中的每一点，这就是著名的帕斯卡定律。
压强的度量
压强的大小，可从不同的基准算起。由于起算基准不同，同一点的压强可用不同的值来描述。
1．绝对压强与相对压强
（1）以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强，称为绝对压强，以pab表示。
（2）以当地大气压为基准起算的压强，称为相对压强，又称表压强，以p表示
有关压强的计算，如不特殊说明，均为相对压强。
2．真空压强
当绝对压强小于当地大气压时，相对压强出现负值，这种状态称为真空。真空的大小用真空压强或真空值来度量。
真空压强――绝对压强不足于当地大气压的差值，以pv表示。
流体静压力的测量
1.U形测压管
应用U形测压管时多采用等压面法
则
如果被测流体为气体，其密度与工作液的密度相比可以忽略不计。
四、 几种质量力作用下的流体平衡
根据达朗伯原理，在质量力中计入惯性力，使液体运动的问题，形式上转化为静力平衡问题。
等加速水平运动容器中流体的相对平衡
作用在单位质量流体上的质量力为
；
；
1．流体静压力分布规律
将单位质量力代入
积分上式，得
根据边界条件：当y=0，z=0时，p=p0，可求得积分常数c=p0，于是得
2．等压面方程
将单位质量力带入
，得
积分上式
这就是等压面方程，等压面已经不是水平面，而是一簇平行的斜面，不同的积分常数代表着不同的等压面。
自由面是一个特殊的等压面，由y=0时z=0这一边界条件可确定自由液面对应的积分常数为c=0，于是得自由表面方程为
或
式中zs表示自由表面上点的z坐标。则
。
得 
等角速旋转容器中流体的相对平衡
根据达朗伯原理，作用在液体质点上的质量力f的三个分量为
；
；
1．流体静压力分布规律
将单位质量力代入，得
积分上式，得
根据边界条件：当r=0，z=0时，p=p0，可得积分常数c=p0，进而可得
2．等压面方程
将单位质量力代入等压面微分方程式
。
积分上式可得
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上当r=0时，z=0，可求得积分常数c=0，于是得自由液面方程为
zs为自由表面上点的z坐标。则
通过分析得
