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数值计算 | 如何利用高斯散度定理计算多面体几何属性

11月前浏览2139

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写在前面

本文将基于高斯定理计算多面体的体积与质心。

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高斯定理

在有限体积法中,我们最常见的便是 高斯散度定理 公式,其表达式如下所示。 
 
上面公式的意义在于我们可以将体积分转为面积分,让我们可以在控制体网格上计算上述积分,例如采用梯形法:  
 其中,上标      表示取面心处的值,下标      表示遍历控制体网格所有面。
例如,我们在一个六面体网格上对对流项      进行积分: 

 

然后,对于对非线性项      做线性化处理就可以使用各种数值格式了。
那么问题来了,既然有这么强大的数学工具,我们能不能用他来计算一些匀质多面体的几何属性呢?例如体积、质心等? 

2

计算体积

任意几何体的质量可以通过下面公式计算: 

 式中,     为密度。如果我们令     ,则上述公式便可计算出几何体的体积。

此时,我们引入密度函数     ,代入上式可得:  
 
例如,我们计算一个起点位于坐标原点处,沿坐标轴棱长分别延伸长度为    ,    ,    的直六面体的体积(每个面用一个矩形网格表示):

代入公式计算可得: 

 

3

计算质心

任意几何体的质心可以通过下面公式计算: 

 其中,下标      表示质心。

此时,我们同样引入上一节提到的密度函数,代入质心计算公式可得: 

 

注:上面推导使用了公式      

最终可得质心计算公式为 

 

我们仍然使用上一节的几何数据并采用相同的算法(如下式所示):

 

从表中数据和公式可以知道,只有面 1、3 和 5 对应的中间结果非零,我们把这三个中间结果给出: 
 
将上面三个向量加和并除以 24 可以得到质心坐标为 :   这与我们的假设的六面体是一致的。
感兴趣的读者可以使用密度函数      来计算体积与质心,其实也可以得到相同的结果。
参考文献:
  1. Improved Formulation for Geometric Properties of Arbitrary Polyhedra.

  2. The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics: An Advanced Introduction with OpenFOAM and Matlab.


来源:有限元术
OpenFOAM非线性控制
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首次发布时间:2023-04-04
最近编辑:11月前
寒江雪_123
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