FEM之求解器(11)---利用C 开发动力学求解器

FasDyna 主要用来解决碰撞问题，本文介绍开发 FasDyna 一些相关内容：

1. 碰撞运动方程

2. 显式积分算法

3. Nastran/LsDyna 

4. 性能问题 

5. 矩阵运算

6. 面向对象方法

1. 动力学方程为：M*U'' C*U' K*U=P， （其中M为质量矩阵， C为阻尼矩阵，U''为位移二阶导数，为加速度；U'为位移一阶导数,U为位移向量，P为包括碰撞力在内的外力向量）令 

 {F(in)} = C*U' K*U ，{F(re)} = {F(ex)} -{F(in)}即外力减内力，则方程可以写为 MU'' = {F(re)} ,若使用集中质量，则各个自由度的方程是相互独立的。

2. 显示积分算法是相对隐式积分而言，显式算法，采用中心差分显式时间积分，由于方程是非耦合形式，可以直接求解，不像隐式方程那样求解刚度矩阵，之所以采用这样的算法思路主要是为解决瞬态动力学服务的，它最本质的算法是中心差分，因此它的求解效率高，但精度不高，而且必须设定非常小的时间步求解以保证稳定状态。而隐式算法，采用的是newmark等隐式时间积分，引入了微量代替，需要转换刚度矩阵，对于非线性，需要采用多种数值计算方法，比如用于线性逼近的牛顿-拉夫逊迭代公式等，这种算法多用于静力问题，结构分析，低频率动力学问题等等。因为这类问题时间历程较长，可以采用较大的时间步，也能保证一定的精度要求。隐式算法是指对于每一增量步，时间积分必须满足平衡方程，反复迭代求解，结果准确，但是求解时间长，而且有时会发散。显式算法求解时不需要迭代，避免了不收敛问题，但是时间步长的选择必须非常小心。

3. Nastran/LS-Dyna 

Nastran SOL 700 集成了 LS-DYNA的结构分析功能，可进行各种高度瞬态非线性时间的仿真分析。SOL 700 模块支持160多种材料模型，具有50多种接触类型，接触类型齐全。并具有并行计算能力。

LS-Dyna 是世界上最著名的通用显式动力分析程序，能够模拟真实世界的 各种复杂问题，特别适合求解各种二维、三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等非线性动力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。在工程应用领域被广泛认可为最佳的分析软件包。与实验的无数次对比证实了其计算的可靠性。LS-Dyna有自己的前后处理程序，Ansys 和 Nastran中都集成了LS-Dyna

FasDyna所有的benchmark 都以Nastran和LS-Dyna 为标准。

4. 对于高速瞬态碰撞，时间步长需要选取很小，这会导致巨大的计算量，但由于自由度方程独立的特点，可以容易的采用并行计算：多核，分布式，利用GPU。FasDyna 引入了GPU计算，在笔者普通的PC机上 可以平均加速5倍以上，效率提高相当可观。

5. 矩阵运算

求解需要用到矩阵运算，笔者封装了目前比较简洁的矩阵操作类 Eigen，Eigne提供了很多矩阵运算方法，包括常用运算，求逆，转置，特征值，特征向量，LU分解等。Eigen 包含了头文件，不需要lib文件。

6. 面向对象方法

FasDyna 支持单元类型有 杆，shell，四面体和六面体（以后还会根据需要扩展）。面向对象方法在代码实现中体现出了很大的优势。定义所有单元的基类和虚方法，然后每种单元类型继承于基类，每种单元类型有不同的实现（比如积分点，应力计算，位移计算等），在进行整体计算的时候，只需要调用接口，不必再为面向过程方法中判断单元类型头疼。