VEM 从理论到计算（二）｜不显式写出形函数，如何计算位移投影？
本节主要内容
比较基于弱形式和位移梯度的两种投影方法； 建立求投影系数的梯度积分方程； 计算左端的多项式积分，并将右端转化为边界积分和内部矩； 整理矩阵方程，由单元自由度求得投影梯度； 用平均位移约束确定常数参数，得到完整投影位移。
两种投影方法
基于弱形式的投影，要求将 换成 后，对同一个测试函数 得到相同的内部虚功：
在线性小应变弹性中，它可以写成
其中：
表示位移场 对应的内部虚功， 表示用于检验这个位移场的虚位移； 是将小应变转换为应力的线弹性本构矩阵； 表示由位移求得的小应变。
对线性小应变问题，也可以直接投影对称应变：
上式用已知的应变多项式矩阵 和待求系数 表示三个应变分量，适用于小应变线弹性问题。
有限变形时，应力与位移梯度之间存在非线性关系，上式求投影系数也需要解非线性方程，复杂度一下子就上来了。因此后续采用位移梯度投影，直接比较梯度，不引入材料本构关系。
位移梯度投影
该方法称为梯度 Galerkin 投影。 是与投影位移采用相同阶次空间的向量测试多项式，即 。将其两个分量展开，可写为
其中， 是非负整数， 、 是任意测试系数。例如，一阶情形 可写为
以 的梯度作为权函数，要求对任意这样的测试函数都有
将括号展开并移项，得到
上式的左端含有待求投影系数，右端由单元自由度计算；下面分别处理这两端。
计算投影方程两端
右端含有未知的内部梯度 。分部积分得到下式：
这里 是单元边界上的单位外法向量， 是边界积分， 是单元内部积分。高斯定理把右端改写为两者之差，避免直接计算内部的 。
左端多项式积分
测试函数与投影位移的梯度可写为
由多项式基的导数组成； 是任意测试系数， 是待求投影系数。两者采用相同的多项式空间，因此共用 ；常数项求导为零，不进入这两个系数向量。
代入投影方程左端，得到
右端边界项
在每条边 上，边界位移由节点位移插值得到：
代入 ，得到
上式中， 是第 条边单位外法向量的两个分量。
为在边上计算 ，用局部坐标 确定物理坐标：
是边的两个端点坐标， 是边长； 分别对应两个端点。
边界被积函数的次数不超过 。对一次、二次情形分别采用梯形规则和三点 Gauss–Lobatto 规则精确积分，具体权重在对应阶次的推导中给出。
右端内部矩项
内部积分中的 的每个分量都是次数不超过 的多项式。将它展开后，各项与位移相乘的积分都可由内部矩 计算：
上式中，逗号后的 、 表示分别对 、 求两次导数。 是常数矩阵，用于将第 个内部矩按对应系数组合到方程中。向量内部矩的个数为
一次情形 ，该内部积分为零；二次情形 ，使用单元平均位移矩。
二次项示例
二阶测试多项式写为
常数项求导后消失，其余测试系数按二阶投影的排列记为
测试多项式的梯度与梯度基矩阵的关系为
对梯度的第一、三行分别关于 求导，对第二、四行分别关于 求导，再按位移分量相加，得到拉普拉斯：
零阶内部矩满足
由于 为常向量，内部积分为 ^quadratic-internal-integral
因此
求解投影系数
将左端项中只包含多项式的积分记为矩阵 ：
将右端的边界和内部矩贡献合并为向量 ：
投影参数满足
已知， 由单元自由度计算，解出 后代回多项式梯度表达式：
上式给出任意位置 的投影梯度。更通用的写法：
上标 表示二维、 阶，下标 表示位移投影。
将单元的边界节点位移排在前、内部矩排在后，得到自由度列向量
再用投影矩阵 表示从自由度到系数的关系：
进一步写为：
确定常数参数与完整投影位移
梯度投影不能确定二维位移的两个常数项。一阶情形 采用顶点平均约束：
当 时，采用平均值约束：
为计算常数项，先将完整投影位移写为
上式， 是已知位移多项式矩阵， 包含常数项及非恒定项的全部系数。整理可得：
由上式即可求得 的常数参数。将全部系数与单元自由度的关系记为 ，得到
参考文献
Wriggers, Peter, Fadi Aldakheel, and Blaž Hudobivnik. Virtual element methods in engineering sciences. Berlin: Springer, 2024.
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