解析 Abaqus 的 PEEQ：三种计算方法，你该用哪一种？
★本文是「Abaqus 与应力、应变」系列的第十篇。等效塑性应变 PEEQ 是金属塑性分析中最常用的后处理变量之一，但关于"PEEQ 到底怎么算"的疑问一直很多。本文结合 SIMULIA 官方社区的经典讨论，逐一拆解 PEEQ 的三种计算方法，以及它们各自的适用场景和"翻车点"。
一、先明确一件事：PEEQ 是"累积量"
在讲计算方法之前，必须先立住一个最基本的概念——PEEQ 是一个累积量 (accumulative quantity），它只增不减。
PEEQ 是 Von Mises 应力的"应变等价物"：就像 Mises 应力用一个非负标量衡量"应力有多危险"，PEEQ 用一个非负标量衡量"材料累计经历了多少塑性变形"。
这一性质决定了后面所有方法的成败：
如果某个公式算出来的 PEEQ 会上下波动，那它一定算错了； 只有能单调上升的公式，才真正符合 PEEQ 的本质。
记住这句话，下面三种方法的优劣就一目了然了。
二、方法一：用塑性应变分量 PE 反算（单调加载专用）
2.1 公式
最直观、也最常用的做法，是用 Abaqus 输出的塑性应变分量 (PE) 直接拼出 PEEQ：
这其实就是"等效应变"公式在塑性应变上的直接套用，和 Mises 应力 是同一套数学框架。
2.2 单调加载下：结果非常好
在单调加载（单轴拉伸、纯弯曲、均匀内压等）场景下，用式 (1) 算出来的 PEEQ 和 Abaqus 直接查询的 PEEQ 几乎完全重合，两条曲线基本重叠。
这正是大家最熟悉的用法，单调加载下可以放心使用。
2.3 但有个"小偏差"要注意
即使用在单调加载下，某些单元上，式 (1) 的结果和 Abaqus 查询值之间也可能存在微小的偏差。原因在于：
★Abaqus 内部用 双精度 (double precision) 计算 PEEQ，但后处理显示给用户的 PE 分量是 单精度(single precision) 截断后的值。你拿单精度的 PE 去套公式，自然和内部双精度算出的 PEEQ 差了一点点。
这个偏差通常可以忽略，但如果你追求精确复现，要意识到它的来源是"显示精度"而非"公式错误"。
三、方法一的失效：循环加载下为什么翻车？
3.1 正弦加载的对比结果
把方法一用到正弦（循环）加载上，问题立刻暴露：
Abaqus 查询的 PEEQ：仍然单调上升（只增不减）； 式 (1) 算出的 PEEQ：跟随加载上下波动，有时上升有时下降。
两条曲线不再重合，而且式 (1) 连 PEEQ 最基本的"累积性"都预测错了。
3.2 根本原因
原因其实很简单。在循环加载中，单个塑性应变分量 PE 的行为是：
加载阶段：PE 分量上升； 卸载阶段：PE 分量下降（甚至反向）。
而 Abaqus 的 PEEQ 追踪的是整个历史中塑性应变的总累积，不是"当前时刻的塑性应变值"。
所以，当你拿"当前时刻"的 PE 分量去开方时，卸载阶段 PE 变小了，算出的 PEEQ 自然也跟着变小——这就是式 (1) 失效的根源。
★一句话：式 (1) 是"状态量"的算法，而 PEEQ 是"历程量"。用状态量公式去算历程量，必然失败。
四、方法二：基于塑性应变增量的累积公式（通用）
4.1 公式
要让公式能正确预测 PEEQ 的累积性，必须把"分量的变化率"和"PEEQ 的累积"纳入计算。这就是基于塑性应变增量的形式：
即对每一步的塑性应变增量 取模、再沿加载路径积分。
4.2 为什么它能保证单调？
根号内 ，所以每一步的增量都是非负的，累加起来必然只增不减。
这就是 Abaqus 内核真正使用的形式，也是 PEEQ 单调非降的数学来源。
4.3 适用范围
式 (2) 是定义式，因此：
单调加载：适用； 循环加载：同样适用。
它才是真正放之四海而皆准的 PEEQ 定义。
五、方法三：基于 PENER 和 MISES 应力（大小变形通吃）
5.1 公式
即便用了方法二，在大变形 (nlgeom=yes) 情形下，某些单元仍可能出现偏差——因为方法一、方法二的简化公式，都是建立在小变形假设之上的。
作为替代，有一个基于 MISES 应力和 PENER（单位体积塑性耗散能）的方法：
其中：
PENER：单位体积塑性应变能 (Plastic strain energy density)； MISES：当前 Von Mises 等效应力。
5.2 为什么它更强？
因为 PENER 和 MISES 本身就是"当前构型"下的量，天然兼容大变形。因此式 (3)：
单调加载、循环加载：都适用； 小变形、大变形：都适用。
官方讨论中的结论是：用 PENER/MISES 方法算出的 PEEQ，和 Abaqus 查询值吻合得极好，是一条通用路径。
5.3 一个例外：运动硬化
需要注意的是，式 (3) 在运动硬化（Kinematic Hardening）模型下可能不成立。原因是运动硬化引入了背应力，塑性功与等效应力之间的简单共轭关系不再严格成立。
遇到运动硬化模型（*PLASTIC, HARDENING=KINEMATIC 或 COMBINED）时，不要用式 (3) 反推，直接采用 Abaqus 输出的 PEEQ。
六、三种方法总结与选型建议
选型建议
日常单调加载后处理 → 用方法 ①，方便直观，拿 PE 分量直接算即可； 循环 / 反向加载 → 千万别用方法 ①，直接看 Abaqus 输出的 PEEQ（它内部就是方法 ②）； 大变形 + 需要自行校核 → 用方法 ③（PENER/MISES），大小变形、单调循环通吃； 运动硬化模型 → 方法 ③ 也不保险，老实看 Abaqus 输出的 PEEQ。
七、总结
PEEQ 是累积量，只增不减。三种计算方法里：
方法 ①（PE 分量） 只在单调加载下可靠，循环加载会翻车； 方法 ②（增量积分） 是定义式，永远正确，Abaqus 内核用的就是它； 方法 ③（PENER/MISES） 是通用后处理公式，大小变形通吃，唯独运动硬化下要小心。
最省心的做法始终是：直接采用 Abaqus 输出的 PEEQ，把上面的公式当作理解原理和交叉校验的工具，而不是替代品。
