几何非线性有限元—更新拉格朗日格式弱形式推导
更新拉格朗日格式以当前已经收敛的构形 作为下一增量步的参考构形，在当前构形上采用 Cauchy 应力 与空间虚应变建立内力虚功，并将总拉格朗日格式线性化后的材料量 push-forward 到当前构形，得到更新拉格朗日格式的增量弱形式。
其核心思想为：
：初始未变形构形 ：当前已经收敛的构形，也是下一增量步采用的参考构形 ：当前增量步收敛后希望得到的新平衡构形 、 、 ：同一材料点在不同构形中的位置 ：材料点在初始构形中的位置向量 ：材料点在当前构形 中的位置向量 ：Newton--Raphson 迭代中的位移修正量
关于 与 Newton 迭代
本文用 表示当前用于线性化的已知构形。若 专指上一增量步已经收敛的构形，则该构形在当前增量步的 Newton 迭代中作为参考保持不变；当前增量收敛后，再更新为 。
当前构形中的应力与空间虚应变
更新拉格朗日格式中采用 Cauchy 应力
以及当前构形上的空间虚应变
位移增量 对应的空间增量应变为
其中 表示相对于当前构形 的空间坐标求梯度。
这里的 不是总 Euler--Almansi 应变
本文中的
和
分别表示虚位移和 Newton 位移修正量对应的空间对称梯度。
有限变形下的总 Euler--Almansi 应变应写为
因此不能把本文的 与总 Euler--Almansi 应变混为一谈。
将总拉格朗日内力虚功推至当前构形
总拉格朗日格式中的内部虚功为
Cauchy 应力
第二 Piola--Kirchhoff 应力与 Cauchy 应力满足
等价地，
其中
Green--Lagrange 虚应变与空间虚应变
Green--Lagrange 虚应变为
其中
利用链式法则：
因此
内力虚功的构形转换
将
代入内部虚功的被积函数：
被积函数的推导
其中使用了
以及迹的循环不变性。
体积微元满足
因此
这就是更新拉格朗日格式中的内部虚功。
更新拉格朗日弱形式的线性化
本文采用
的推导路线。
为什么从 TL 线性化再转换到 UL
直接在当前构形上对所有几何量、应力以及积分域同时线性化时，容易混入构形变化、应力变化和积分度量变化。
先在固定初始构形 上完成 TL 线性化，再通过严格的构形转换得到 UL 形式，可以更清楚地区分材料项和几何项。
TL 内部虚功线性化为
其中第一项产生材料刚度，第二项产生几何刚度。
材料刚度项
可得
材料刚度项
其中空间切线本构张量定义为
为什么空间切线张量中出现
因此
这个 随后与
配合，将参考构形中的积分转换为当前构形积分。
对于 Saint Venant--Kirchhoff 各向同性材料，
因此
其中
的二维 Voigt 显式矩阵以及 CP4 单元中的具体离散放在“更新拉格朗日有限元离散格式（CP4）”中展开，这里只保留弱形式推导所需的张量关系。
几何刚度项
TL 中几何刚度对应
其中
利用
得到
定义
则
再利用
可得
增量弱形式总结
因此
第一项对应材料刚度，第二项对应几何刚度。
TL 与 UL 之间的构形对应关系
总拉格朗日格式中的各个量通过构形转换后，在更新拉格朗日格式中对应为：
TL 与 UL 在理论上描述的是同一个平衡问题，区别在于参考构形、应力度量以及应变型量所在的构形不同。
TL 始终相对于初始构形描述总变形；UL 则不断使用当前已知构形作为后续增量的参考构形。
单自由度一维杆验证
考虑初始长度 、初始截面积 的两节点一维杆。节点 1 固定，节点 2 施加轴向集中力 ，节点 2 的总位移为 。
变形梯度与应力
当前长度为
因此一维变形梯度为
Green--Lagrange 应变为
对于一维 Saint Venant--Kirchhoff 材料，
即
Jacobian 为
Cauchy 应力为
当前构形中的虚应变与增量应变
当前构形上的虚位移为
因此
同理，
以及
内力虚功
当前构形上的内部虚功为
内力虚功线性化
一维空间材料切线为
更新拉格朗日格式中的内力虚功增量为
材料刚度：
几何刚度：
总切线刚度：
UL、TL迭代方程对比
对于前述一维杆单元，TL 与 UL 虽然采用不同的应力应变度量，但最终得到的内力虚功和切线刚度矩阵是一致的。
内力虚功对比
TL 内部虚功：
UL 内部虚功：
切线刚度矩阵对比
TL 格式：
UL 格式：
等价过程
