几何非线性有限元—TL 有限元离散格式（C3D8）

三维八节点六面体单元的总拉格朗日有限元格式与二维四节点单元的推导逻辑完全一致：始终以初始构形     为参考，通过形函数得到位移梯度，进一步计算变形梯度     、Green–Lagrange 应变     和第二 Piola–Kirchhoff 应力     ，再利用非线性应变矩阵     和几何矩阵     分别构造内力、材料刚度和几何刚度。

有限元插值基础

单元自由度

C3D8 为三维八节点线性六面体单元，每个节点包含三个平移自由度

因此整个单元共有     个自由度：

应力与应变度量

三维第二 Piola–Kirchhoff 应力采用 Voigt 形式表示为

Green–Lagrange 应变表示为

其中剪切分量采用工程剪应变形式。

位移场、几何场插值

自然坐标为    ,

第     个节点的形函数统一写为

八个形函数分别为

单元内部位移场写成

初始构形中的位置向量写成

其中

位移梯度

位移对初始坐标的梯度为

分量形式为

其中

三维情况下

等参变换中的 Jacobian 矩阵

实际计算中，首先得到形函数对自然坐标     的偏导，再通过 Jacobian 矩阵转换为对初始坐标     的偏导。

Jacobian 矩阵为

根据链式法则

因此

有限运动学量的有限元离散

变形梯度

变形梯度定义为

分量形式为

三维变形梯度为

Green–Lagrange 应变

Green–Lagrange 应变为

第二 Piola–Kirchhoff 应力

对于 Saint Venant–Kirchhoff 材料，

三维 Voigt 形式的材料矩阵为

其中

于是

虚应变

非线性应变矩阵     

虚位移梯度由节点虚位移插值得到：

将其代入六个虚应变分量，可以写成

其中

第     个节点对应的非线性应变矩阵为

整个 C3D8 单元的非线性应变矩阵为

于是

位移增量引起的 Green–Lagrange 应变一阶增量同样满足

非线性平衡弱形式的有限元离散

内力虚功

总拉格朗日格式中的内部虚功为

采用 Voigt 形式后

因此单元内力向量为

外力虚功

外部虚功为

将虚位移插值代入：

因此

其中，    是单元外力向量。

线性化后的切线刚度

内部虚功的一阶增量为

其中第一项形成材料刚度，第二项形成几何刚度。

材料刚度

由于

以及

因此

于是材料刚度矩阵为

几何刚度

几何刚度来源于

指标形式：

指标形式推导

由

 

 

可得

 

 

对第二项，由于     都是哑标，可以交换其名称     ：

 

 

又因为第二 Piola–Kirchhoff 应力张量具有对称性，

 

 

因此

 

 

两项完全相同，所以

 

对于每一个位移分量     ，都会出现同一个三维应力矩阵

因此可以整理为

梯度向量、虚位移梯度向量、增量位移梯度向量分别为

于是

其中

即

梯度向量通过节点自由度表示为

对于第     个节点，