几何非线性有限元—TL有限元离散格式（CP4）
总拉格朗日有限元格式是在初始构形 上，将位移场、虚位移场和位移增量场使用有限元形函数离散，并把非线性平衡弱形式进一步写成节点自由度形式。对内部虚功作线性化后，最终得到由材料刚度和几何刚度共同组成的切线刚度矩阵，并形成 Newton–Raphson 增量方程。
其整体逻辑为
以下以二维四节点单元为例进行推导。
有限元插值基础
应力与应变度量
第二 Piola–Kirchhoff 应力采用 Voigt 形式表示为
Green–Lagrange 应变表示为
其中第三个分量采用工程剪应变形式 。
位移场、几何场插值
对于四节点双线性等参单元，自然坐标为
对应的形函数为
单元内部的位移场写成
初始构形中的位置向量写成
其中， 是第 个节点的形函数， 是单元自然坐标（二维： ）。
位移梯度
位移对初始坐标的梯度为
分量形式为
其中
二维情况下
表示第 个形函数 对初始坐标 的偏导 表示第 个节点位移向量的第 个分量 表示沿 方向移动时， 方向位移 的变化率
等参变换中的 Jacobian 矩阵
实际计算中，形函数首先定义在自然坐标 下，因此需要通过 Jacobian 矩阵将形函数对自然坐标的偏导转换为对初始物理坐标 的偏导。
Jacobian 矩阵
根据链式法则
因此
由此即可得到后续计算中使用的 和 。
有限运动学量的有限元离散
变形梯度
变形梯度定义为
分量形式可写为
其中
二维变形梯度为
Green–Lagrange 应变
Green–Lagrange 应变为
整理可得
第二P-K应力
对于 Saint Venant–Kirchhoff 材料，第二 Piola–Kirchhoff 应力为
其中， 的 Voigt 形式：
平面应变问题中，
可以进一步写为：
虚应变
将虚应变写成 Voigt 形式：
虚应变指标形式推导
Green–Lagrange 虚应变为
分量形式：
非线性应变矩阵
对于四节点等参单元，虚位移梯度可由节点虚位移插值得到：
代入 ：
同理，
剪切项为
将三个分量统一写成矩阵形式：
于是定义第 个节点对应的矩阵
整个四节点单元的矩阵为
从而得到
中包含变形梯度 ，而 又取决于当前位移，因此 随当前位移状态改变。这正是几何非线性有限元与小变形线性有限元的重要区别之一。
非线性平衡弱形式的有限元离散
内力虚功
总拉格朗日格式中的内部虚功为
采用 Voigt 形式后
其中单元内力向量为
外力虚功
外部虚功为
将虚位移插值代入，得到
因此
其中， 是单元外力向量。
线性化后的切线刚度
为了使用 Newton–Raphson 方法求解非线性平衡方程，需要对内部虚功进行线性化。
内部虚功的一阶增量为
其中第一项形成材料刚度，第二项形成几何刚度。
材料刚度
由于
以及
因此
于是材料刚度矩阵为
几何刚度
几何刚度来源于
其中
其分量形式为
因此
为了将上式整理为“ ”的形式，先将属于同一位移分量的项分别收集。
为了将上式写成矩阵形式，采用系数填表法。对于 和 对应的项：
因此
对于 和 对应的项：
因此
最终
系数填表法
行变量取虚位移梯度 ，列变量取位移增量梯度 。原标量展开式中，每一个“行变量 列变量”前面的应力分量，就是矩阵对应位置的系数。这样并不是直接猜出应力矩阵，而是由完整展开式逐项凑出矩阵形式。
定义
以及
则
其中
梯度向量 可以进一步通过节点自由度表示为
对于第 个节点
整个单元的几何矩阵为
因此
于是几何刚度矩阵为
总切线刚度
材料刚度与几何刚度相加得到总切线刚度矩阵
即
等参单元的数值积分
前面的积分均定义在初始物理域 上。对于等参单元，实际积分在自然坐标域内进行，因此面积微元需要通过 Jacobian 矩阵进行变换：
因此，对于初始构形单元域 上的一般积分，有
后续的内力、材料刚度和几何刚度积分均按照这一方式由初始物理域转换到自然坐标域，再采用 Gauss 积分进行数值计算。
Newton–Raphson 增量方程
离散后的 Newton–Raphson 增量弱形式为
由于节点虚位移 任意，得到实际求解的增量方程
其中右端项
则第 次 Newton–Raphson 迭代满足
更新节点总位移：
