几何非线性有限元—总拉格朗日格式弱形式推导
总拉格朗日格式始终以初始未变形构形 为参考，在 上使用 Green–Lagrange 应变 和第二 Piola–Kirchhoff 应力 构造非线性平衡弱形式，并对弱形式关于当前位移进行一阶线性化，得到 Newton–Raphson 位移修正方程。
其整体逻辑为
：初始未变形构形 ：第 个载荷步开始前的上一收敛构形，已知，只作为当前载荷步的迭代初值 ：当前载荷步希望求得的平衡构形，未知 、 、 ：同一材料点 在三个构形中的位置 ：从空间原点指向 的初始位置向量 ：从空间原点指向 的位置向量 ：材料点从 移动到 的总位移 ：第 次 Newton 迭代求得的位移修正量，用于把当前试探位置继续推向平衡位置 ：更新后材料点的位置向量，满足 “Iteration”箭头：表示在同一载荷步内反复计算残差、切线刚度和位移修正，直到收敛
非线性平衡弱形式
弹性系统的总势能为
其中， 是总势能， 是结构储存的内部应变能， 是外力势能。
平衡状态要求总势能沿任意允许虚位移 的一阶变化为零：
其中，
推导过程
对于 Saint Venant–Kirchhoff 材料，应变能密度为
其中， 是应变能密度， 是四阶弹性张量，符号 表示张量缩并，最终结果为标量。
第二 Piola–Kirchhoff 应力由应变能密度对 Green–Lagrange 应变求导得到：
推导过程
于是总势能的一阶变分为零等价于
这就是总拉格朗日格式的非线性平衡弱式。
非线性平衡弱形式增量化
非线性平衡弱形式在求解时常常将将非线性的过程看做是多个线性过程进行迭代求解， Newton–Raphson方法是最常用非线性求解算法，在整个几何非线性问题中，我将在大部分场景下应用Newton–Raphson方法去求解，除非是遇到不适用的情况，再考虑使用修正Newton–Raphson方法或者弧长法之类的算法。
定义残差虚功
平衡时要求
但是，由于内部虚功 对总位移 非线性，当前迭代位移 一般不能直接满足平衡：
因此需要寻找位移修正量 ，并更新
其中， 是第 次迭代的当前总位移， 是本次求得的位移修正量， 是更新后的总位移。
希望更新后的残差接近零：
在 附近对残差作一阶展开：
令更新后的残差近似为零，得到
由于
所以
假定外载荷的大小和方向均不随当前位移改变，则外部虚功对当前位移的线性增量为零：
因此 Newton–Raphson 增量弱形式为
内力虚功增量化推导
内力虚功为
当前位移增加 时， 和 均发生一阶变化：
代入内力虚功的被积函数：
其中
是两个一阶增量的乘积，属于二阶小量，在一阶线性化中舍去。因此
小变形的情况下 只与 有关( )，所以小变形中的内力虚功增量为
第一项
对于 Saint Venant–Kirchhoff 材料：
其中，Green–Lagrange 应变的一阶增量为
因此第一项为
它描述
有限元离散后形成材料刚度部分。
第二项
线性化过程中虚位移 保持不变，但当前位移的变化使 改变：
它包含当前已有应力 ，有限元离散后形成几何刚度，也称初应力刚度。
至此，Newton–Raphson 增量弱形式的每一项都已经推导得出。
单自由度数值案例
考虑初始长度 、初始截面积 的两节点一维杆。节点 1 固定，节点 2 施加轴向集中力 ，尝求解节点 2 的位移 。
本例中的符号为：
：杆轴线上材料点的初始坐标， ：杆的初始长度 ：杆的初始横截面积 、 ：节点 1 和节点 2 的轴向位移 、 ：节点 1 和节点 2 的虚位移 ：节点 2 的 Newton 位移修正量 ：施加在节点 2 上的轴向外力 ：一维变形梯度 ：一维 Green–Lagrange 应变 ：一维第二 Piola–Kirchhoff 应力 ：杨氏模量，用下标 与应变 区分
变形梯度、应变、应力、虚应变
一维变形梯度为
推导过程
两节点杆的线性位移插值为
其中
由于节点 1 固定：
所以 对初始坐标 求导： 虚位移同理：
Green–Lagrange 应变为
一维 Saint Venant–Kirchhoff 应变能密度为
第二 Piola–Kirchhoff 应力为
一维虚应变由通用公式化简为
代入两节点杆插值：
内力虚功、外力虚功
三维初始体积微元对等截面杆可写成
其中， 是杆的初始横截面积， 是沿初始轴线的长度微元。
内力虚功可表示为：
端部集中力产生的外力虚功为
应变增量、应力增量和虚应变增量
应变增量一阶线性化舍去二阶项后：
应力增量：
虚应变增量：
内力虚功线性化
内力虚功的一阶线性化为
迭代过程中切线刚度为
其中材料刚度部分为
几何刚度部分为
于是第 次 Newton–Raphson 迭代满足
并更新
