几何非线性有限元—体积、表面积的变化

体积变化

在初始构形中，取三条无穷小线元     、    和     ，其构成的有向体积为

变形后，三条无穷小线元分别变为     、    和     ，当前构形中的有向体积为

根据无穷小线元的映射关系

可得

定义变形梯度的行列式为

初始构形与当前构形中的局部体积满足

其物理含义为：

体积应变

局部体积的相对变化量可以定义为体积应变：

当材料不可压缩时，局部体积保持不变，因此    需要注意，    只表示体积不发生变化，并不表示物体没有发生形状改变。例如等体积剪切可以满足 ，但材料的形状仍然发生改变。

构形积分区域的转换

根据     ，当前构形中的体积分可以转换到初始构形中：

 

局部表面变化

在初始构形的表面     上，取两条无穷小切向量     和     。由它们构成的有向面积向量为

变形后，两条切向量分别变为     和     ，当前构形中的有向面积向量为

其中：

•      ：初始构形中的单位法向量
•      ：当前构形中的单位法向量
•      ：初始构形中的面积微元
•      ：当前构形中的面积微元

利用线元映射关系

以及恒等式

可得

因此，有向面积向量（ Nanson 公式）：

局部面积的变化

由于     为单位法向量，对 Nanson 公式两边取模：

因此

局部面积的变化不仅取决于体积变化率     ，还取决于初始表面的法向量     及变形梯度     。

单位法向量的变化

由 Nanson 公式可知，当前构形中的单位法向量     与     平行。将其归一化可得

   描述局部体积的变化，不能单独决定局部面积的变化