非线性有限元—变形梯度

构形描述

图中：

• 参考构形取初始构形       ， 材料点       变形经映射       到当前构形        中的空间点       
•      ：      ->      的位移变化
•      ：初始构形        中的材料点       的位置
•      ：当前构形        中的空间点       的位置
•      ：初始构形中与      最邻近的材料点
•      ：当前构形中与      最邻近的材料点
•      ：       
•      ：       

在参考构形      中，材料点      的位置由材料坐标表示为     ，经过运动后，同一个材料点在时刻      到达当前构形      中的空间点     ，其当前位置为     。

材料点的运动由变形映射描述：    ，即    

对于一个物理上可接受的运动

1. 每一个材料点        在给定时刻只能对应一个当前位置       
2. 不同材料点不能运动到同一个空间位置，否则会发生材料相互穿透

变形梯度

变形梯度      描述的是：参考构形中的一个无穷小线元     ，经过变形后如何映射为当前构形中的无穷小线元    。

在材料点      附近，对      作 Taylor 展开：

忽略二阶及以上高阶小量后，可以得到：

其中，    为变形梯度，几何意义：

分量形式为

矩阵形式为

其中，小写指标      对应当前构形中的空间分量，大写指标      对应参考构形中的材料坐标分量。

变形梯度与位移梯度的关系

材料点的位移定义为当前位置与参考位置之差：

因此，变形映射也可以写成

变形梯度可进一步写为：

1.      时，表示相邻材料点之间的微小线元保持不变，不会发生体积变化、扭转、剪切，但是可能会发生刚体平移
2.      时，不一定产生应变，可能是刚体转动（      ，      为坐标转换矩阵）

参考文献

[1] Kim, Nam-Ho. Introduction to nonlinear finite element an alysis. Springer Nature, 2026.