湍流理论与模拟（研究生力学丛书）-张兆顺_1-150

前言

本书是为研究生撰写的教材和参考书，同时面向所有需要研究 和应用湍流理论的科技工作者。

学习和研究湍流的最终目的是预测和控制湍流，而要理解和发  展预测与控制方法必须掌握湍流的基本理论。湍流属于多尺度不规  则的复杂流动现象，对这种现象没有深入理性的了解，就不可能正确  应用已有的预测方法，更不可能发展新的方法。对于湍流物理的研  究，理论更是必需的。由于计算机的迅速发展，数值模拟是近年来预  测复杂湍流和研究湍流物理的主要手段之一。湍流理论是正确数值  模拟的基础，例如，怎样准确地模拟含有许多尺度的流动，怎样合理  地给出不规则流动的边界条件，怎样获得不规则流动的准确统计量， 等等，这些问题都需要理论指导才能解决。另一方面，由于湍流是不  规则的复杂流动，不可能用解析方法获得湍流场的全部信息，数值模  拟几乎是获得湍流场信息的主要来源，它为发展湍流理论提供宝贵  的数据库。本书将系统地叙述湍流基本理论和近代湍流数值模拟  方法。

全书共8章。第1章湍流的统计和测量，论述湍流的不规则性 及其统计方法和测量原理，包括平稳湍流的各态遍历定理等。第2 章湍流运动的基本方程，应用统计方法从Navier-Stokes   方程导出雷 诺方程、湍动能方程、雷诺应力输运方程、可压缩流体的密度加权平 均方程等，并深入说明方程的意义和性质；还导出湍流场的涡量输 运方程，并阐述了涡量在湍流动量、能量输运中的意义。第3章均匀 各向同性湍流，应用张量方法和傅里叶分析方法，系统完整地研究各 向同性湍流的运动学和动力学性质，包括湍动能输运的串级理论、结构函数理论等；此外还介绍了各向同性湍流的解析封闭方法与EDQNM  模  型。第4章简单剪切湍流，分析了简单剪切湍流的统计特性与解析理论(即快  速畸变理论)及其应用，并论述剪切湍流的相干结构及其分析方法。第5章标  量湍流，通过理论分析揭示了标量湍流的特性，并讲述标量湍流模拟的方法， 即湍流普朗特数和拉格朗日随机模型。第6章湍流直接数值模拟，论述了直  接数值模拟的基本原理，包括数值计算的基本要求和边界条件的提法，还介绍  了湍流数值模拟的谱方法和差分法，并分别以不可压缩槽道湍流和可压缩混  合层为实例说明这些方法的应用。第7章雷诺平均统计模式，系统论述雷诺  平均的主要特性和约束条件，同时介绍各个层次的湍流模式，并以实例分析各  种模式的优缺点。第8章湍流大涡数值模拟，系统陈述大涡数值模拟方法的  原理，包括过滤方法和基本方程；还详细介绍各种大涡数值模拟的亚格子模  型，并以实例讨论它们的优缺点；最后介绍这一新型数值模拟方法的几个重  要问题。

近年来，湍流数值模拟十分流行，但我们再次强调掌握基本理论的重要 性，只有深刻了解湍流理论，才能选择适当的数值方法，并对数值结果进行正 确的分析。盲目地应用计算机作数值计算既不是科学的态度，也具有危险的 后果。为此，我们欣然撰写本书，冀有志于湍流研究的朋友，既研究理论，又研 究数值方法，为解决世纪性难题做出贡献。

作  者

2005年2月于北京清华园

第1章   湍流的统计和测量

1.1 湍流的不规则性

湍流又称紊流，顾名思义，它是一种很不规则的流动现象。

著名的雷诺实验给出了湍流直观的描述。图1-1是雷诺实验装 置和流动显示的示意图。清水从一个有恒定水位的水箱流入等截面 直圆管，在圆管入口的中心处，通过一细针孔注入有色液体，以观察 管内的流动状态。在圆管的出口端有一节门可调节流量，以改变流动的雷诺数。为减小入口扰动，入 口制成钟罩形。实验时可用容积法 测量流过圆管的体积流量 Q 圆 管 内的平均流速 Um和雷诺数 Re 分别 定义为

式中，d 是圆管直径；v为水的运动粘  性系数。实验过程中，逐渐开大节 门，这时管内流速逐渐增大。当管内 流速较小时，圆管中心的染色线保持 直线状态(图1-1(a));   当流速增大， Re 达到某一数值时，染色线开始出现波形扰动；继续增大流量时，染色线由剧烈振荡到破碎，并很快和清水剧 烈掺混以至不能分辨出染色液线(图1-1( b))。

上述第一阶段的流动状态称为层流；最后阶段的流动状态称为湍流；中 间阶段的流动状态极不稳定，称为过渡流动。在不加特殊控制的情况下，圆管 流动出现湍流状态的最低 Re 数约为2300。在特殊控制环境下，使外界的扰 动非常微弱(如控制环境振动和噪声、管壁粗糙度等),圆管内流动的层流状 态可维持到 Re=10⁵  量级。在常见的其他流动中，如边界层、射流或混合层 等，随着流动特征雷诺数的增大，也会发生层流到湍流的演变。总之，湍流是 一种极普遍的现象，当流动的特征雷诺数足够大时，它就呈现不规则的湍流状 态。湍流速度场的不规则性还表现在它的不重复性。具体来说，保持相同流 量、相同粘度等条件，重复前面的雷诺实验，每次实验的时间变量均由启动瞬 间算起，在这种重复实验的流动中，在同一空间点上的速度时间序列是不重复 的。图12展示在不同时刻采集的圆管湍流中心线上的流向瞬时速度( Re=   6000)。可以看到，两次采集的速度时间序列都是极不规则的，并且两次采集 的结果没有重复性。

不重复性可以用实验次数为自变量的不规则函数表示。实验次数用变量 @表示(例如第1次实验w=1,    第 2 次 实 验w=2,…),      那么湍流速度场是时 间、空间坐标和实验次数笞的不规则函数

总之，湍流是三维空间中的不规则非定常流动。

本书讨论的湍流是在连续介质范畴内流体的不规则运动，它有别于物质 分子的不规则运动。具体来说，在极不规则的湍流中，流动的最小时间尺度和 最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度。由于湍流是流体微团的不 规则运动，或者说它是巨量分子群的平均不规则运动。因此湍流运动产生的 质量和能量的输运将远远大于分子热运动产生的宏观输运，这就导致湍流场 中质量和能量的平均扩散远远大于层流扩散。例如，在化学反应器中，为了加 速化学反应，常常利用搅拌产生湍流以加强流动中反应物的质量扩散。另一 方面，真实流体运动是耗散系统，湍流脉动导致附加的能量耗散，因此湍流运 动往往使流动阻力增加，例如，高雷诺数湍流边界层的物面摩阻远远大于相同 雷诺数的层流摩阻。

研究湍流运动，不仅要能够预测它的性质，还要知道如何控制它。当需要 加强流动的质量和能量扩散时，应当能够强化湍流；当需要减小阻力、节省能 量时，应当能够抑制湍流。下面首先讨论不规则运动的统计描述。

1.2  湍流的统计

1.2.1     随机变量的概率分布和概率密度

湍流是不规则运动，属于随机过程，随机变量最基本的可预测特性是它的 概率和概率密度。

1.  随机变量的概率和概率密度

首先，用直观的方法建立概率和概率密度的概念。以图1-2的圆管湍流 中心脉动速度测量结果为例，从表面上看，每次采样的速度序列都极不规则， 而且两次采集的结果没有重复性。如果把采集速度按速度大小分类，并考察 出现在某一速度区间上采集到的样本数的分布，那么两次采样结果就有几乎相 同的分布规律。具体做法是在速度的最大值和最小值之间分成 M 个区间，第 m;个区间的中心速度为 u;, 则该区间中流体速度值为 u-△u<uu+△u,

。在速度时间序列的样本中，把位于上述区间的采集到的点数

N 记录下来，并除以总的采集点数 N,   则 N/N      表示位于上述指定区间采 集到的样本的百分数。上述处理结果可以用直方图表示，图1-3右边是速度 的时间序列，左边是该时间序列按速度大小分布所作的直方图。

把△Pw=N;/N          称为速度时间序列中出现速度值为 u:-△uu<u+△u

的概率；而把△P(w/△u   称为速度分布的概率密度。如果取速度区间△u 为  常数，则速度分布的直方图近似于概率密度分布。如果采集的时间序列很长， 速度分布区间分得很细，就可以得到相当光滑的概率密度分布曲线 ( w 。 以  图1-2所示的圆管湍流中心两次采集速度为例，将这两次时间序列作直方图， 其结果示于图1 - 4。不难看出，虽然两次采集的时间序列没有重复性  (图1-2),但是它们的直方图几乎是相同的。

综上所述，虽然湍流速度场在时间上具有不规则性，但它具有规则性的概 率分布和平均特性。

2.  概率和概率密度的定义

以上是直观的概率和概率密度的概念，为了对不规则量进行定量的统计需要严格的概率定义。概率论中，随机变量的定义是事件集 合Ω6)到实数 集 合 R 的映射：

用力学语言来解释上述定义，湍流速度变量 u的实数集 合就是随机变量； 事件集 合就是相同边界条件下不同初始场演化出的所有流场状态。例如，前  面曾经将每次实验用参数笞表示，则流场中某一点所有可能出现的速度值表  示为

所有可能实现的事件集 合Ω(w) 称 为系综。举例来说，在相同的边界条 件下，N 个真实的初始条件产生 N 个实验流场(理论上 N 可以无穷大)是一 个系综，其中某一次实验称为一个事件。数学上，随机变量的概率定义如下。

随机变量的概率是一种测度概念。规定全系综(即一切可能实现的事件 集 合)的测度等于1,随机变量 u(w) 的概率 Px)  定义为一切 u(w<x        事件 的测度 M, 可写作

用力学语言来解释，式(1.6a) 可表述为

式(1.6a) 或式(1.6b) 定义的概率又称为累积概率，它具有以下性质：

(1) Px    是小于1的正值函数，即0 < P(x<1;

(2) Px)   是不减函数，即 P(z)≥Px),              若    > x;

(3) P(-∞)=0,P(∞)=1,   因为一切真实的物理量必为- ∞< u<∞。 由上述定义的概率不难算出 u<u<e       的概率为

P(u<u<u)=P(e)-Pu)

前面用直观方法作出的直方图就是累积概率之差△P(w。

由累积概率可进一步引出概率密度的概念。如累积概率 Px)   是可微函 数，则它的导数定义为概率密度，并用 p(x) 表示，即

具有概率密度的随机变量，可以用积分方法求出 u<ut        事件的累积概率为

概率密度函数具有以下性质：

(1) px   是非负函数，即 p(x)≥0,    这是因为累积概率 Px)    是不减函数，它的导数应是非负数；

例1 . 1 高斯分布函数的概率密度。

高斯分布函数的概率密度函数为

满足式(1.9)概率密度的随机变量称为高斯分布随机变量，如图1-5所 示，参数σ表示概率密度函数的集中程度，σ愈小概率密度函数愈集中。前面 引用的圆管中心脉动速度的概率密度分布也近似于高斯分布。

例1.2  δ函数的概率密度。

δ函数的定义为：当 x≠0   时，č x)=0,   同时有 。理论上， & x) 函数是σ→0的高斯分布的渐近函数，它表示除了 x=0  外，变量出现其他 数值的概率等于零。同样理由，&x-x)     表示随机变量取值等于 z 的概率等 于1。δ函数可用来表示随机变量的离散概率，例如 p(x)=0.5δ(x+1)           十   0.5δ x-1),    表示 x 取+1和— 1的概率各为0.5。

3. 联合概率和联合概率密度

进一步把单个随机变量的概率和概率密度的定义推广到多个随机变量。 为了书写简明起见，以两个随机变量为例，读者不难推广到任意维的随机变量 。两个随机变量的累积概率称为联合概率，用 Px,y)   表示，它的定义是

一般来说，已知每一随机变量 u,v  的概率分布 P(w),P(w      或概率密度 p(w,(v),       不能直接推算出联合概率分布 PCu,v)  或联合概率密度 p(u,7),

因为联合概率密度取决于两个随机事件之间的约束关系。如果两个随机变量 的联合概率密度等于各自的概率密度之积：   x,y)=(x)p(y),            则称这两个随机变量是相互独立的。

4. 随机函数的概率

再进一步，可以把随机变量 uG)   的概率概念推广到随机函数 u,t)。

以流动为例，由某一种初始状态启动的一个流动(物理实验或数值计算实 验),它是系综中的一个事件w 。 流动过程受流体力学方程(如Navier-Stokes 方程)控制，在一个事件中某一点速度随时间的变化在理论上是可测的，因此 一点的速度既是初始事件 的不规则函数，又是时间的函数，对于概率事件的 系综  w) 来说，时间 t 是一个新自变量，因此称 uw,t)    为随机函数，意指随 机变量 u6w) 还 随 t 变化。

随机函数(或随机过程)的概率或概率密度的定义是随机变量中相应定 义的推广，可以对每一时刻 t 给出 u(w,t     的概率

不同时刻随机变量 u    w,左)和 ul   w,古)间的关系用随机函数的联合概率来 描述，定义如下：

还可以把随机函数的概念推广到关于空间变量的随机函数，于是一般的时空四维随机变量场中可以有如下的一点概率分布和两点联合概率分布

一点概率分布是时空点 ，,;      t) 上变量 u的概率分布；两点概率分 布的含义是在时空点{ ,戏，鸡；直}上变量 u 和时空点{  y,   是，;电}上变 量 v 的联合概率分布。

原则上来说，假如知道了湍流场中任意一组点上的概率密度，就完全掌握 了它的性质。

原资料见附件

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