拉普拉斯变换

Our goal in this and the following chapters is to develop techniques for ana lyzing circuits with a wide variety of inputs and responses. Such circuits are modeled by differential equations whose solutions describe the total response behavior of the circuits. Mathematical methods have been devised to systematically determine the solutions of differential equations. We now introduce the powerful method of Laplace transformation, which involves turning differential equations into algebraic equations, thus greatly facilitating the solution process.

拉普拉斯变换的意义在于将描述电路的微分方程转换为代数方程，简化求解过程。

变换（Transform）是函数之间的映射关系。拉普拉斯变换（Laplace Transform）的好处在于，它将时域（time domain）中的微分运算转换为频域（frequency domain）中的乘积操作。这种结构提供了计算上的极大利好。

拉普拉斯变换还是线性的。这让基尔霍夫定律在复频域下依然成立。基于基尔霍夫定律的电路理论因而可以迁移到复频域的分析中。

微分算子的特征函数是指数函数    ，对于线性常系数微分方程，其解能以指数函数为基底进行特征分解。拉普拉斯变换像一个探测器，在复平面上利用极点暴露出解的结构，极点的位置揭示了解中出现哪些指数模式，极点处的留数则给出各模式的权重。

尽管拉普拉斯变换只在收敛域内存在，但由解析延拓可以唯一确定其整体结构。此外，电路分析中的所有信号都天然满足收敛条件，因此在实际分析中无需关注收敛性。

数学性质

狄拉克delta函数，也叫单位冲激函数（unit impulse function）。

这里的    是单位阶跃函数（unit step function），也叫Heaviside step function，国内也用    来表示。它的导数是    。

这两个函数属于奇异函数（singularity function），也叫开关函数（switching function），可以很好地描述开关操作带来的切换（switching）信号。

Time Shift

这个性质在电路中存在延迟源时会用到。

Time differentiation

从这个性质可以推出电容和电感在频域中的等效结构。更高阶的微分可以用递归得到。

逆变换

通过拉普拉斯逆变换得到时域解。

令    的点就是    的极点。对于无重极点（repeated pole）的    ：

其中    是第    个极点的「留数」。

Heaviside Theorem

利用这个定理可以求解每个单极点的留数。也叫「掩盖法」。它以英国工程师Oliver Heaviside（1850-1925）的名字命名，是算子微积分（Operator Calculus）的先驱。在求解微分方程的特解时，他创新的算子法（Operator Method）十分高效，但也饱受学界的质疑。Simmons在他的书中感叹道：

Heaviside’s methods seemed so strange to the scientists of his time that he was widely regarded as a crackpot, which unfortunately is a common fate for thinkers of unusual originality.（对于当时的科学家而言，Heaviside的方法显得如此怪诞，以至于他被普遍视为疯子——不幸的是，这正是那些具有非凡独创性的思想家们常有的遭遇。）

面对对他无法严谨证明算子法有效的质疑，Heaviside的回应是：

Shall I refuse my dinner because I do not fully understand the process of digestion? （难道我要因为不完全理解消化的过程，就拒绝享用晚餐吗？）

令我印象深刻。故特地插叙在此。

对于存在重极点的    ，我们将只含有单极点的部分打包进    ，关注前面的部分：

这里我们取    作为一个重极点为例。

这个结论是直观的，但是过于麻烦。我们有时也可以考虑利用纯粹的代数手段，即待定系数法进行求解。我们将通分后的式子与原式各次数项的系数一一对应，可以得到一个线性方程组。如果重根重数不高，方程组的维度也不会太高，求解起来比反复微分分式要容易得多。

复极点（complex pole）总是成对出现的，它们是一对共轭复根。可以利用二次项避免复数运算。通过配方，将相应部分写成：

再将其变换回正余弦函数。事实上，在对    进行因式分解时，注意到这样    的二次项就可以直接配方，不需要求出复根。这也是Stewart在Calculus中讲过的策略，当时用于分解真分式为部分分式（partial fraction）进行积分。注意以上的操作都仅适用于「真分式」，如果分子次数高于分母，应该先利用长除法等方法将高次项分离出去。

应用

拉普拉斯变换的好处在于，它自然地包含电路的初始状态。

电感的时域特性为：

两边进行拉普拉斯变换：

反解：

故等效结构如图：

同理，电容的时域特性为：

两边进行拉普拉斯变换：

反解：

等效结构如图：

视实际情况选择。由于电容电压和电感电流不能突变，所以    ，    。

电阻、电源的变换比较平凡，前者    ，后者根据给出的激励方程或者依赖关系直接变换即可。

得到频域电路后，利用之前学过的各种电路分析方法求解出目标响应的    ，再逆变换回时域即可。

三要素法

三要素法是拉普拉斯变换在线性时不变一阶电路的一个特殊简化形式，它依托的是这样一个命题，即范围内电路的任意指定响应都可以被表示为如下的形式：

   是初始状态；    是最终状态（稳态）；    是时间常数（time constant），对电路的所有响应是全局（global）的，也就是对任何响应都相同。这三者就是所谓的「三要素」。知道了这三个要素，再用上面的公式将它们拼接起来，就能得到解。注意这个解的结构是：

暂态响应随着指数衰减而逐渐消失，响应趋于稳态。

对于激励是交流电源的电路，其稳态或者初始状态，可能需要利用相量法来求解。如果电路还同时含有直流电源，需要考虑使用叠加定理。

通过将电容、电感两端的电路进行戴维南等效，我们可以利用标准的无源RC、RL电路模型给出的公式：

得到时间常数    。

目标响应不一定只包含电容或电感，可以将它们视作一个整体直接求解，也可以先求出电容、电感的响应，然后利用特性方程等性质间接得到目标响应。

对于开关操作前后不变的电路结构，可以考虑使用其戴维南等效电路，能够大大简化分析过程。

单位阶跃响应可以利用三要素法求解。单位冲激响应是单位阶跃响应的导数。

补充

三种方法的对比

   域为什么叫「频域」？一种解释是    带有频率    的量纲。严格说，叫「复频域」更准确。    中，虚部     对应真正的频率，实部     是衰减因子。当     时，复频域退化为普通频域，    ，这正是相量法的情形。

参考书目

[1] Charles K. Alexander, Matthew Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, 7th Ed., International Student Edition, McGraw-Hill Education.

[2] 哈尔滨工业大学电工基础教研室, 电路理论基础, 第四版, 高等教育出版社.

[3] George F. Simmons, Differential Equations with Applications and Historical Notes, CRC Press.

[4] James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus Early Transcendentals, 9th Ed., Cengage Learning.