第95夜 | 能量法10：互等定理与卡氏定理的联系
地点：力学研讨室。
人物：
小生：回味着昨夜的互等定理，满眼期待。 老师傅：在黑板上画了一根承受着N个集中力的梁。
1. 能量的微小扰动：数学的视角
小生：师傅，昨夜您留了个大悬念。一般化的互等定理确实证明了交叉做功是相等的。但是，这跟我们用偏导数求位移的卡氏第二定理 到底有什么关系？您怎么用互等定理来证明它在多载荷下依然合法呢？
老师傅：今晚，我们就来完成这场力学能量法体系的“封神之战”。 你看黑板上这根梁，上面作用着多个力： 。它们共同作用，让梁的各点产生了对应的满载位移 ，系统也因此产生了一个总应变能 。
现在，我们从纯数学的视角来看。如果我们保持其他的力全都纹丝不动，仅仅让第 个力 ，增加一个极小的增量 。 小生，根据微积分的全微分法则，系统变化后的总能量和能量的增量 应该怎么写？
小生：既然只有 发生了变化，我们可以先把变化后的总能量写出来：
展开之后，总能量就等于原本的能量加上能量对 的偏导数乘以力的增量 ：
把原有的 减掉，单看增量部分，数学上的表达式就是：
老师傅：非常精准。你写下的这个等式，目前还是一个纯粹的数学定义。为了证明卡氏定理，我们应当从物理的角度，去看看这个能量增量 到底长什么样，看看等号的另一边究竟隐藏着什么物理规律。
2. 物理的困境：加载路径一与复杂的交叉功
老师傅：我们回到真实的物理加载过程。我们把刚才的操作定义为加载路径一： 第一步，把所有的满载力 先施加上去。此时系统有了总能量 ，各个作用点也都有了对应的位移 。
第二步，我们在位置 处，单独施加那个微小的力增量 。小生，你想象一下，这个小小的 加进去之后，梁会发生什么变化？
小生：虽然 很小，但它肯定会引起全梁的微小附加变形。我们可以把全梁各个受力点产生的新增位移记作 。
老师傅：非常好。那么在这第二步中，系统额外增加了多少应变能 呢？
小生：我来仔细算算。这增加的能量应该包含两部分。 首先是增量 自己的做功，它是一个小三角形面积 。 其次，就是早就满载等在原地的那些力“搭便车”做的交叉功了。位置 1 的 乘上了 ；位置 2 的 乘上了 ……以此类推。 所以，物理上真实的系统应变能增量，是一大串交叉功和自身做功的总和：
老师傅：逻辑很严密。不过在这里， 是两个微分小量相乘，属于二阶无穷小。
小生：哦对！在微积分里二阶小量可以直接忽略掉。所以物理上的能量增量即为：
3. 互等定理的降维打击：加载路径二
老师傅：看着这个冗长的求和式，如果硬算，你得算出全梁每一个微小位移 才能求出 。但这正是昨夜的互等定理大显身手的时候。我们用互等定理的底层逻辑——“能量与加载路径无关”来重新梳理。 现在，让时光倒流，梁恢复到完全没有受力的初始状态。我们设计一条全新的加载路径二。 这次，我们先不加那一大堆满载的力。我们先把那个微小增量 ，孤零零地加在位置 上。小生，这第一步，系统产生了多少能量？
小生：系统只受一个极小的力 ，在 点产生了一个极小的位移 。它自己做的三角形自做功是 。这部分能量微乎其微。虽然 在其他位置也产生了位移 ，但是因为那些位置没有力，所以并没有外力做功。
老师傅：好，第二步，保持这个微小的 站在原地不动。我们现在把那一整组常规的满载力 ，从 0 缓慢施加到满值。在这个过程中，系统又增加了哪些能量？
小生：首先，这组满载力自己要做功。它们从 0 加到最终的常规满值，产生了一组相应的满载位移 。它们自身做的三角形总功，正好就是原先系统的总应变能 ！
老师傅：那么交叉功呢？别忘了，场上还有个一直保持静止状态的“老员工” 呢。
小生：啊！我看到了！在这些满载力施加的过程中，梁产生了相应的位移。原本站在位置 上的微小力 ，被迫跟着移动了那段满载位移 ！ 因为在这个过程中 始终保持不变，所以它“搭便车”做了一个附加的矩形功。这个功等于力乘位移：
老师傅：太精彩了。现在，把这两条路径的总能量进行对比。 路径二的总能量是：微小自做功 ( ) + 满载自做功 ( ) + 交叉功 ( )。 而你刚才推导的路径一的总能量是：满载自做功 ( ) + 微小自做功 ( ) + 那一长串的交叉功求和式 ( )。 根据能量与路径无关的铁律，这两条路径的总能量必须相等。你把这两个等式放在一起看看。
小生：满载自做功 抵消了！微小自做功 抵消了！ 我的天，剩下的等式竟然是：
师傅！我明白了！等式左边这一长串，就是“第一组满载力 在第二组微小增量力 引起的位移 上所作的功”；而等式右边这简单的一项，就是“第二组微小增量力 在第一组满载力 引起的位移 上所作的功”！ 这不就是昨晚我们推导的功的互等定理吗！那个复杂繁琐的全梁交叉功求和式，在互等定理的降维打击下，竟然直接等效成了唯一的这一项！ 所以我刚才在物理上求出的增量 ，其实可以直接写成：
4. 顶峰相见：卡氏定理的终极确立
老师傅：现在，把我们在物理上费尽心思求出的简明 ，和一开始你用数学全微分写出的 放在一起。
小生：数学定义的增量是 ，物理推导的增量是 。 既然它们描述的是同一个系统能量增量，两者自然相等：
等式两边同时约掉微小增量 ……
出来了！这就是卡氏第二定理！！
老师傅：这就是经典力学中十分美妙的一段推导。 我们不需要知道结构内部的变形有多复杂，也不需要纠结那些互相干涉的位移项。功的互等定理巧妙地把多载荷系统中繁杂的交叉影响化简，像一把锋利的手术刀，直接从物理底层为数学上的偏导数操作提供了清晰的逻辑支撑。 至此，不管结构承受多少个力，你都可以安心地写出总应变能，然后通过求偏导数来得出位移。这场关于能量法体系的探索，我们终于有了一个很完满的收尾。
