第65夜 | 换个角度看世界：应力变换6-应力圆（莫尔圆）
“师傅，这应力变换的解析公式实在太复杂了。又是 ，又是 的。真到了工地上，谁能记住这么长一串公式？而且一点都不直观，根本看不出应力是怎么随着角度变化的。”
地点：力学研讨室。桌子上丢满了写着三角函数公式的废纸。
人物：
小生：揉着太阳穴，看着上一讲推导出的那串长长的应力变换解析公式，直摇头。
老师傅：拿出一把圆规，微笑着在黑板上画下了一个十字坐标系。
1. 绝境与重构：消灭三角函数
小生：师傅，这应力变换的解析公式实在太复杂了。又是 ，又是 的。真到了工地上，谁能记住这么长一串公式？而且一点都不直观，根本看不出应力是怎么随着角度变化的。
老师傅：哈哈，你的痛苦，一百多年前的德国力学家莫尔（Otto Mohr）也经历过。既然代数公式是一团乱麻，咱们就跳出代数的迷宫，去几何的世界里找出口。
你来看看这两个公式。能不能想个办法，把讨厌的 彻底消灭掉？
小生：消灭 ？三角函数里只有 能做到。
我试试……第一步，我把第一式的常数项 移到等号左边：
第二步，我把这个新式子和第二式，两边分别平方，然后相加！
一通展开后，交叉项刚好一正一负抵消了！提取公因式，剩下的刚好凑出了 ！
最终结果是：
2. 奇迹浮现：它是圆的方程！
老师傅：好！现在你仔细审视一下这个最终的等式。在 组成的平面直角坐标系里，它长得像什么？
小生：（猛地一拍大腿）等号右边的 都是给定原状态下的已知常数！所以右边算出来就是一个固定的常数！
等号左边的 和 才是随着截面变化的未知变量！
这结构就是 ……这是一个圆的方程啊！！
老师傅：完全正确！莫尔在代数的废墟中，挖出了这颗几何的珍珠。
在这张图上，圆心 位于横轴（ 轴）上，坐标是 。
圆的半径 。
无论你把截面怎么切， 和 的取值，都被限制在这个圆的边界上。
3. 点面对应：圆上的质点与物理的截面
小生：太不可思议了！可是师傅，这个虚无缥缈的几何圆，和真实的应力状态到底有什么对应关系？
老师傅：莫尔给出的核心原则叫——“点面对应”。
真实物理世界里，你从微元体上切出一个特定的截面，它上面就有一对确定的正应力和切应力。把这对力当成坐标 描在纸上，它必定是应力圆上的一个几何点。
微元上的一个“面”，绝对唯一地对应着圆上的一个“点”。
4. 旋转法则：转向一致，角度成双
小生：既然点和面一一对应，那如果我在物理微元上旋转截面，对应在圆上的点会怎么跑？
老师傅：这就引出了莫尔圆操作的无上心法——“转向一致，角度成双”。
假设微元上有一个基准面 ，它在圆上对应着点 。
如果你在物理微元上，将截面沿着某个方向（比如逆时针）旋转了角度 到了 面。
那么你在应力圆上，只需要从 点出发，沿着相同的方向（逆时针），将半径旋转 的角度，就能精准抵达 面对应的几何点 ！
5. 降维实战：图解法的暴力美学
小生：光说不练假把式，师傅，咱们拿道题实操一下，不用公式，就用画图能解出来吗？
老师傅：当然。咱们来看这个例题：
已知某点处于平面应力状态： 面的应力 MPa， MPa； 面的应力 MPa，由于切应力互等，并且让微元顺时针旋转为正，所以 MPa。求法线相对 轴逆时针旋转 的斜面上的应力。
老师傅：现在，扔掉三角函数，拿好直尺圆规，跟我的步骤走：
第一步：定基准点，画圆
在 坐标系中，标出 面对应的点 。
标出 面对应的点 。
将 和 连线，这条线必然穿过横轴，交点就是圆心 。显然圆心坐标为 。
以 为圆心， 为半径画一个圆。利用勾股定理，半径 。你的应力圆就画好了！
第二步：旋转寻宝
题目要求截面逆时针转 。
默念口诀“转向一致，角度成双”：从基准半径 开始，在圆上逆时针旋转 ，落在圆上的新位置，记为点 。
第三步：读图出答案
点 的坐标就是答案！我们用初中几何解一下：原半径 构成的直角三角形中，邻边是 30，对边是 40。将这条半径逆时针旋转 后，原本的“对边”横了过来向左指，“邻边”竖了上去。
所以点 的横坐标 MPa。
点 的纵坐标 MPa。
解题结束！
小生：我的天！全程没有算哪怕一个 ，纯靠几何作图和勾股定理就把应力给求出来了！而且看着这个圆，哪里正应力最大、哪里切应力最大，一眼就能看穿！这图解法太巧妙、太直观了！
不过师傅，为什么物理世界转 ，几何世界就刚好转 呢？这背后的底层原理到底是什么？
老师傅：哈哈，这就触及到张量变换深层的数学灵魂了。莫尔不仅是个工程师，更是个空间魔法师。关于这个 的几何奥秘，以及如何一眼看穿材料会从哪里断裂，咱们下一夜再慢慢道来。
