结构力学分析与概率论相结合

几何非线性问题有两种描述格式:完全拉格朗日格式(Total-Lagrangian，TL)和更新拉格朗日格式(Updated-Lagrangian，UL)。在完全拉格朗日格式中，所有静力学和运动学物理量总是定义于初始构型(也叫参考构型)，即在整个分析过程中参考构型保持不变;而在更新拉格朗日格式中，所有物理量参考于每一载荷增量或时间步长开始时的构型，即在分析过程中参考构型是不断更新的。拉格朗日(Lagrangian)应变定义在初始构型下，欧拉(Eulerian)应变定义于当前构型下。拉格朗日(Lagrangian)应变从参考构型出发，通过分析向量 的长度平方变化(如图1所示)， ▲图1定义拉格朗日（Lagrangian）或格林（Green）应变张量 ：代入式(1)可得长度平方变化的表达式：用位移梯度表示拉格朗日应变。将变形梯度与位移梯度的关系 代入 ，展开后可得：分量形式为：注意：无论哪种形式，拉格朗日应变都是对称二阶张量，即 。欧拉(Eulerian)应变重复上述步骤，但这次使用当前构型（而非参考构型）其中， 是空间变形梯度张量。定义欧拉应变张量 为：代入式(6)可得长度平方变化的表达式：我们定义空间位移梯度张量 为：利用链式法则，位移梯度满足 ，因此 。将这些结果代入欧拉应变的定义，可得用空间位移梯度表示的欧拉应变：分量形式为：与拉格朗日形式类似，欧拉应变也是对称二阶张量，即 。例子1🌰如图2所示，边长为 的立方体产生变形 ▲图2其中 为常数，确定立方体对角线 的长度平方差 。从映射关系直接可知，原点 保持不动，原本在点 的质点分别移动到点 。因此，平行于 平面内的质点仍留在这些平面内，正方形面 变为上述的平行四边形 。变形梯度参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：参考构型下，对角线 的线元 ，代入公式得：例子2🌰🌰如图3是一根初始长度为 ，截面积为 的杆拉伸到长度为 ，截面积为 ，从初始构型到当前构型的简单映射 ▲图3轴向拉格朗日应变轴向欧拉应变除此之外，还有工程(名义)应变，对数(真实)应变等等。来源：数值分析与有限元编程