连续介质力学的拓扑学思维(一)
你可能听说过这样一个说法:拓扑学，研究的是那些在连续变形下保持不变的性质。最经典的例子就是咖啡杯和甜甜圈--在数学家眼中，它们的表面是同一个形状，只要不撕裂、不粘合，咖啡杯的表面总能连续地变形为一个甜甜圈的表面。在拓扑学角度，咖啡杯和甜甜圈，就是同一个形状。
连续介质力学的语境中，如前所述，首先需要一个空间模型--构型。定义这种模型的第一步，是将空间解释为点的集 合。然而，如果不同的点要以某种方式指代不同的位置，那么单纯的点的集 合就相当无用。尽管集 合因具有子集概念以及并、交等运算而已具备某种结构，但仍需额外的数学结构，才能使位置这类概念具有意义。经验告诉我们，位置通常是相对于预先定义的参考点来表达的。另一方面，这又要求将不同的点相互关联起来，例如通过距离。距离主要是一个定量概念。然而，除了点之间的距离、曲线的长度等定量特征外，还有其他特征，通常统称为拓扑特征。例如，在连续介质力学中，物质体的概念通常是这样引入的:物质体通过在某一时刻占据空间中的一个区域，即上述点集的一个子集，而为我们所感知。回顾一下通常用于说明连续介质力学基本思想的示意图就会发现，人们默认这个区域是“连通的”，并且通常具有“内部”和“边界”。
直观上，我们不难接受“连通”、“内部”和“边界”是拓扑性质。然而，还有其他性质，其拓扑特征远非如此显而易见。因此，问题便产生了:如何更精确地定义拓扑性质?下面的实验或许能给我们一些初步线索。给一个气球充气，直到能在上面画出几何图形。这可以称为初始构型。之后，将气球进一步充气(当前构型)可以检查这些图形，以找出那些在从初始构型过渡到当前构型时不变的性质。想到这个实验，人们或许会倾向于认为，拓扑性质就是那些在连续变换，即连续映射下不变的性质。然而，没有精确的连续性概念，这并非真正的定义，充其量只是一个启发思考的方式，最终由此构建出一个严谨的框架。此外，事实证明，并非所有连续映射都适合将拓扑性质与其他性质明确区分开来，而只有所谓的同胚映射，即双向连续的双射映射才适合。
涵盖上述问题的学科称为点集拓扑学，它可以通过多种方式来概述。也许最直观的方式是从度量空间入手，即一个点集连同一种允许我们测量点之间距离的结构。如图1是一根长度为 的杆拉伸到 ， 为空间模型的两个点，从初始构型到当前构型的简单映射，两种构型共用一个坐标系
利用物质坐标和空间坐标，便可以表述质点的位移。度量位移的定义是
在物质描述中，上式可写为
对于图1，
大多数关于度量空间拓扑的教材首先关注序列的收敛性和连续性。像内部或边界这样的集 合性质，则放在后面讨论，以便为下一个抽象层次，即拓扑空间做准备。
