IJP | 近完全再结晶原位增材制造镍基多主元合金的层错能调控与多级析出相设计

pinn求解三维固体力学问题（pytorch）论文名称《An introduction to programming Physics-Informed Neural Network-based computational solid mechanics》 问题描述 几何模型：完整立方体边长 。利用对称性，仅建模立方体的八分之一（如右图），以降低计算成本。载荷条件：在立方体顶部和底部表面 ( 和 ) 施加沿z方向的分布力 。载荷函数为： 边界条件：位移边界条件 (在对称面上施加)： 材料属性：杨氏模量 泊松比 为平面应力问题，Lamé常数 由 和 通过公式计算得到。神经网络架构设计该PINN模型采用多个独立的前馈神经网络来近似位移场。设计要素 具体配置 模型输入三维空间坐标 模型输出三个方向的位移分量 网络架构三个独立 的全连接前馈神经网络 (Fully Connected Neural Network, FNN) 单个FNN结构包含 4 层（输入层、隐藏层、输出层），每层有 20 个神经元 激活函数使用 tanh 函数（在FNN()函数中默认设置） 参数初始化使用 LeCun 初始化方案（在Input_Info()函数中定义） 训练采样点在计算域内生成 9261 个 均匀分布的样本点（间距 ） 物理信息嵌入与损失函数主要物理约束：平衡方程 (在计算域 内)： 力边界条件 (在力边界 上)： 位移边界条件 (在位移边界 上)： 损失函数类型：在此3D案例中，论文仅使用了配点损失函数 (Collocation Loss Function) 进行求解。能量基损失函数 (Energy-based Loss Function) 可以通过修改程序实现，但3D示例中未使用。**损失函数构建 (Collocation)**：损失函数是平衡方程残差和力边界条件残差的均方误差 (MSE) 之和： 其中， 是域内样本点总数， 是力边界上的样本点数。边界条件精确施加：对于固定的位移边界条件（如 ），采用了硬边界的方法来精确满足，而非将其作为损失项。这简化了损失函数，降低了训练复杂度。具体方法为： ，其中 是原始FNN输出， 是固定边界位置。数值实现流程一些关键问题由于在三维问题下，采样点会指数增加，例如采用 ，不可避免有内存超限问题。训练阶段def closure(self): self.optimizer.zero_grad() x, x1u, x1b, x2u, x2b, x3u, x3b = self.x_train ### 第1段：平衡方程残差（内域点） Gex, Gey, Gez = self.pinn.forward_ge(x) l1 = Loss_GE(Gex, Gey, Gez) l1.backward() l1_val = l1.item() del Gex, Gey, Gez ### 第2段：x面边界条件 s11u, s121u, s131u, s121b, s131b = self.pinn.forward_bc_x(x1u, x1b) l_x = Loss_BC_x(s11u, s121u, s131u, s121b, s131b) l_x.backward() l_x_val = l_x.item() del s11u, s121u, s131u, s121b, s131b ### 第3段：y面边界条件 s22u, s122u, s232u, s122b, s232b = self.pinn.forward_bc_y(x2u, x2b) l_y = Loss_BC_y(s22u, s122u, s232u, s122b, s232b) l_y.backward() l_y_val = l_y.item() del s22u, s122u, s232u, s122b, s232b ### 第4段：z面边界条件 s33u, s133u, s233u, s133b, s233b = self.pinn.forward_bc_z(x3u, x3b) l_z = Loss_BC_z(s33u, s133u, s233u, s133b, s233b, self.y_train) l_z.backward() l_z_val = l_z.item() del s33u, s133u, s233u, s133b, s233b ### 汇总 loss 数值 loss_val = l1_val + l_x_val + l_y_val + l_z_val return torch.tensor(loss_val) 将一次大的 forward+backward 拆分为4段独立计算，每段算完立即 backward 释放计算图。由于 zero_grad() 只在开头调用一次，4次 backward() 的梯度自动累积，数学上完全等价。后处理阶段n = xyz.shape[0]batch_size = 2000s1_list, s2_list, s3_list = [], [], []s12_list, s13_list, s23_list = [], [], []for i in range(0, n, batch_size): xyz_b = torch.tensor(xyz[i:i+batch_size], dtype=torch.float32, requires_grad=True).to(device) # 只需一组微分 + 一次 Material 调用 U_x, U_y, U_z, U_xx, U_xy, U_xz, U_yy, U_yz, U_zz = pinn.dif_x(xyz_b) V_x, V_y, V_z, V_xx, V_xy, V_xz, V_yy, V_yz, V_zz = pinn.dif_y(xyz_b) W_x, W_y, W_z, W_xx, W_xy, W_xz, W_yy, W_yz, W_zz = pinn.dif_z(xyz_b) _, _, _, _, _, _, s1_t, s2_t, s3_t, s12_t, s23_t, s13_t, _, _, _ = Material( U_x, U_y, U_z, V_x, V_y, V_z, W_x, W_y, W_z, U_xx, U_xy, U_xz, U_yy, U_yz, U_zz, V_xx, V_xy, V_xz, V_yy, V_yz, V_zz, W_xx, W_xy, W_xz, W_yy, W_yz, W_zz, pinn.E, pinn.mu) # detach() 断开计算图，只保留数值 s1_list.append(s1_t.detach().cpu().numpy()) s2_list.append(s2_t.detach().cpu().numpy())s1 = np.concatenate(s1_list)# ... 拼接其余分量 每个批次中：detach() 将结果从计算图断开，只保留纯数值下一轮循环中变量（xyz_b, U_x, s1_t 等）被重新赋值，旧对象的引用计数归零Python 引用计数机制立即回收旧对象，关联的计算图跟随释放 二维物理问题描述模型： 几何与建模：方板边长 利用几何对称性，仅建模方板的四分之一（如图12(b)），以降低计算成本载荷条件：在板的右侧（ ）施加沿x方向的分布力 载荷函数为： 边界条件：位移边界条件 (在对称面上施加)： 力（牵引力）边界条件：已由 在右侧边界施加材料属性：杨氏模量 泊松比 为平面应力问题，Lamé常数 由以下公式计算： 来源：我的博士日记