十分钟搞定复指数、欧拉公式、振动推导，再搞定傅里叶变换、拉普拉斯变换！

学习振动理论，发现求解振动方程。

     

有时用三角函数法，更多是用复指数函数法。三角函数大家都很熟悉，这里暂且不论。

对于复指数函数，一方面是指数形式，一方面又是复数，给人感觉很抽象。

     

为什么要用复指数呢？难道只是为了装逼吗？

振动方程是微分方程，需要做微分。而复指数最大的奥秘就是：被微分后是自己乘以系数。

     

是不是很神奇？很显然，被积分后也是自己乘以系数。

     

除此之外，复指数还有一个特点。

     

这有什么用呢？其实也没什么大用，就是让微积分计算变成了乘除计算，把乘法变成了加法。

简言之，把公式推导变得非常简单。

单自由度振动微分方程如下：

（4.1）

设解为：

（4.2）

把公式4.2带入公式4.1，可得：

(4.3)      

如需公式4.3成立，则必须：

（4.4）

由公式4.4，可得：

(4.5)

所以，公式4.1的通解为：

(4.6)

已知欧拉公式如下：

(4.7)

需要指出，欧拉公式意义重大，打通了复指数函数和三角函数。在控制工程、信号处理、振动分析中很常见。

把公式4.7带入公式4.6，可得：

(4.8)

其中：

(4.9)

设定解条件（即初始条件，即t=0）为：

（4.10）

把4.10带入公式4.8，可得

(4.11)

最后，可得：

(4.12)

其实，最终还是写成了三角函数形式，但中间用复指数形式，计算起来更方便，然后再利用欧拉公式完成复指数与三角函数的转换。

对于多自由度振动微分方程，方法是类似的。

对于傅里叶变换，拉普拉斯变换，方法也是类似的。

开展公式推导，就离不开数学工具。如上，数学层面就是求解二阶齐次线性微分方程。其实也不是很复杂。

如果不开展推导，当然则不需要这些数学知识。

对于一线工程师，如果只想记住结论，不在意推导过程，则大幅降低了数学要求。

原则上来说，对于应用工程师，可以不管推导过程。但这么精妙的数学知识，难道你不想多看一眼吗？

我最终建议还是应该掌握最基本的推导。

就像遇到帅哥美女，应该多看一眼，以提升自己的审美和品位。