COMSOL也可以实现MMC拓扑优化？
一、前言
拓扑优化（Topology Optimization）是一种寻找材料在设计空间中最优分布的数学方法。它的核心目标是在满足性能约束的前提下，实现材料用量最小化，或在给定材料用量下实现性能最大化。
目前主流的拓扑优化方法有四种，分别是：SIMP（变密度法）、ESO/BESO（进化结构法）、Level Set（水平集法）和MMC/MMV（可移动变形组件/空洞法）。其中使用最广泛的是SIMP，MMC/MMV则是2014年由大连理工大学郭旭老师提出来的一种拓扑优化方法。本文主要介绍SIMP在COMSOL里面的实现过程，以及分享我们团队（极度喜欢上课）一些关于MMC方法的尝试。
二、SIMP拓扑优化方法
SIMP是COMSOL的内置拓扑优化方法。如图1所示，当添加了“拓扑优化”接口之后，COMSOL就会自动添加“变密度模型”。注意看方程的表达式，仔细观察就能发现其实“变密度模型”包含了四种伪密度变量，分别是theta_c（θc）、theta_f（θf）、theta（θ）和theta_p（θp）。theta_c是最初的伪密度变量，变化范围是0到1之间，数值分析的时候如果直接使用theta_c，容易导致棋盘格现象，所以需要将theta_c经过一次亥姆霍兹过滤，然后得到theta_f，theta_f也不能在数值分析中直接被使用，因为此时theta_f的边界不够清晰，所以还需要将theta_f经过一次双曲正切投影，得到边界更清晰的theta。其实如果直接使用theta来进行有限元分析，理论上也是可行的，但是由于theta的变化范围是0到1之间，当theta等于0的时候，对于固体力学来说，为完全“空”的材料，容易导致数值求解的不稳定，所以theta还需要经过一次插值，最典型的就是SIMP插值，得到theta_p，默认的theta_p的变化范围是0.001到1之间，最大值和最小值之间相差3个数量级，既能满足识别“空”材料的要求，又不会完全为“空”，保证了数值求解的稳定性。插值除了能让数值求解更稳定之外，它还能让theta进一步趋向0或1，减少0.5附近的中间变量。
图1
如图2所示，展示了四种伪密度的分布情况。左上角的为theta_c，右上角的为theta_f，左下角的为theta，右下角的为theta_p。关于图2相关内容的学习，可以观看我们团队（极度喜欢上课）发布在B站的第三十五期公开课和第五十三期公开课。
图2
在理解了COMSOL“变密度模型”四种伪密度的原理之后，当然得实际上手实操一下，我们团队（极度喜欢上课）在B站发布了大量的关于COMSOL拓扑优化基础的公开课，涵盖传热、固体力学以及流体力学等方向，欢迎大家学习。
如果基础的公开课已经都学会了，欢迎学习我们团队（极度喜欢上课）发布的第16次和第17次课程。如图3所示，展示了两套课程的大纲。16次课程涉及COMSOL“变密度模型”关于固体力学、传热以及流体力学等方向更高级的应用；17次课程则是为需要对COMSOL进行二次开发的同学所打造的基础课程，课程涉及COMSOL和MATLAB之间的数据交互以及COMSOL“变密度模型”的自定义搭建。
图3
除了上述的内容，我们团队其实还对COMSOL内置的拓扑优化方法进行了很多有趣的探索，例如如图4所示，我们尝试做过基于初始特定形状的拓扑优化；如图5所示，尝试做过多材料的拓扑优化；如图6所示，尝试做过周期性结构的拓扑优化；如图7所示，尝试过将传热相变和拓扑优化进行耦合，制作了一个瞬态的翅片拓扑优化案例；如图8所示，还尝试做过考虑蒙皮包裹的固体力学拓扑优化。
图4
图5
图6
图7
图8
三、MMC拓扑优化方法
