提升Abaqus 中弹性体建模精度的几个技巧
过去十年，我一直在探索使用有限元方法进行结构分析。我刚开始使用 Abaqus，就立刻遇到了一些复杂的问题。我被它深深吸引，努力理解与网格质量、求解器技术、接触、单元公式等相关的新概念。起初，我并没有太关注材料属性。我上过力学课程，心想这能有多难呢？我在模拟延性金属方面进展顺利，然后第一个弹性体问题就摆在了我的面前。
我开始研究弹性体建模，坦白说，我花了很长时间才意识到自己对这个领域的了解是多么匮乏。在此期间，我学到了很多关于如何对这些具有挑战性的材料进行建模的重要经验。我想通过以下六个技巧分享其中的一些知识，并辅以测试数据和图片进行说明。
1. 避免在材料模型中使用肖氏硬度值
弹性体材料数据表通常以邵氏硬度值来描述材料的硬度。该值是选择合适弹性体材料的重要参考指标。然而，实际的应力-应变数据能够提供更高的精度。一些材料供应商已经开始在其产品中提供全面的测试数据，这是行业内的一个良好趋势。
如果只有肖氏硬度值可用，则可以通过以下方法计算弹性模量：Gent 关系。由此得到的弹性模量也可以转换为新胡克方程。 通过进一步计算剪切模量和体积模量来构建材料模型。将线性弹性模型和新胡克模型与下方的单轴拉伸试验数据进行比较，可以看出它们仅在应变水平非常小的情况下才适用——在本例中最高可达 5%。如果您的应用仅考虑小应变，这些易于获取且计算简便的模型可能是一个不错的选择。但是，如果您的应用需要评估更大的应变，则需要考虑更详细的材料模型。
现在的分析需要考虑更大的应变，您已联系材料供应商，他们拥有可以共享的应力-应变数据。他们发送给您的文件是单轴拉伸试验数据。我们有大量的材料模型可用于表征该单轴拉伸试验数据，其中最常用的是 Marlow 模型和 Ogden 模型。需要注意的关键一点是，要全面表征弹性体，还需要考虑其他应变状态，例如平面应变和双轴应变。
表征弹性体所需的三种应变状态
通过完成所有三种弹性体测试——单轴拉伸、平面拉伸和双轴拉伸（也称等双轴拉伸），我们可以使用选定的应变能密度函数（例如 Marlow、Ogden、Mooney-Rivlin 等）精确表征弹性体的所有变形模式。此外，还有第四种测试，称为体积压缩测试，它对于受限弹性体的应用至关重要。我们将在后续章节中讨论它。
单轴、平面和双轴弹性体物理测试
我们知道，理想情况下，为了全面表征弹性体的变形模式，我们应该进行全部三种测试。但如果不这样做，会有什么风险呢？如果我们只能获得单轴拉伸测试数据，该怎么办？我们有哪些选择？其实，即使只进行单轴拉伸测试，仍然可以校准任何材料模型。但是，我们需要注意一些事项。具体来说，某些材料模型虽然能够很好地拟合单轴数据，但却可能给出不切实际的双轴或平面响应。
我们来看一个例子。我们将仅使用单轴拉伸试验数据，并生成 Marlow 模型、一阶 / 二阶 Ogden 模型和一阶 / 二阶多项式材料模型。然后，我们将比较这些材料模型对该数据的双轴响应与实际双轴拉伸试验数据。
单轴拉伸试验与响应
如上图所示，Marlow 模型、 二阶 Ogden 模型和多项式模型与单轴拉伸试验数据拟合度极佳， R² =1。 一阶 Ogden 模型和多项式模型也具有良好的拟合度， R² =0.99。如果不考虑双轴拉伸数据，而这些模型又是您通常使用的模型，那么选择二阶多项式模型或 Ogden 模型可能会很方便。然而，我们现在拥有双轴拉伸试验数据；让我们将这些尚未针对双轴拉伸试验数据进行校准的材料模型与实际的双轴拉伸试验数据进行拟合。
双轴拉伸试验与响应
将 Marlow 模型、一阶 Ogden 模型和一阶多项式模型与试验数据进行比较，我们发现双轴响应与双轴试验数据具有相对较好的相关性。然而，当 Ogden 模型和多项式模型的阶数提升到二阶时，双轴响应变得不稳定且无法使用。因此，当仅有单轴试验数据时，强烈建议避免使用二阶或更高阶的模型。Marlow 模型通常性能最佳，因此推荐使用，因为它直接利用试验数据（单轴响应具有完美的相关性），并且始终能够生成合理且稳定的双轴/平面响应。
#2. 高阶材料模型：少即是多
我们现在拥有了三种应变状态（单轴、平面和双轴）的测试数据，并开始尝试拟合奥格登模型或多项式模型。当一阶和二阶函数拟合效果不佳时，人们可能会倾向于尝试更高阶的函数。然而，这些更高阶函数的风险在于，它们在目标应变水平下更容易出现不稳定性。
什么是材料不稳定性？当外部载荷导致材料做非负功时，就会发生材料不稳定性，这在物理上是不现实的。那么，是什么导致了这种非负功呢？在拟合材料模型时，我们实际上是在进行优化，以最小化三种应变状态下的实验应力-应变数据与材料模型预测值之间的差异。这种超弹性材料模型，也称为应变能密度函数，会生成一个三维曲面，用于预测我们分析中材料的复杂应变状态。高阶函数具有额外的局部极大值和极小值，这会增加响应曲面或应变能密度函数的非凸性。响应曲面中的这些非凸性正是导致非负功和材料不稳定性的原因。
稳定响应曲面示例（左）和不稳定响应曲面示例（右）
这些不稳定性会导致模型出现诸多问题，例如收敛失败、网格异常主导结果以及不可预测的应力或应变结果。任何变形模式下，应变超过其稳定性极限的材料均不应用于工程决策。建议尽可能使用一阶或二阶模型，即使拟合效果并非完美。您始终可以使用以下方法检查材料模型的稳定性：Abaqus 材料评估选项或在3DEXPERIENCE 材料校准工具，如下图所示。
材料稳定性指标较差
第三，考虑穆林斯效应
在模拟弹性体时，我们始终需要考虑应用中的加载状态。如果我们关注的是初始加载与后续或循环加载，材料的响应可能会有显著差异。这种现象称为穆林斯效应。在下面的示例中，弹性体最初沿曲线 1 加载，然后沿曲线 2 卸载。当再次加载时，它将沿曲线 2 加载至曲线 3，然后沿曲线 4 卸载，依此类推。
弹性体穆林斯效应示例
这是一个至关重要的影响，因为对于您的应用而言，考虑初始（第一个循环）载荷与后续在特定状态下的载荷可能非常重要。举例来说，假设您想了解橡胶衬套在其常规循环载荷使用情况下的性能。
只有考虑制造过程中安装的影响（例如，前一个加载循环），才能准确地进行分析。Abaqus 和大多数非线性结构分析软件都允许在超弹性材料模型中包含 Mullins 效应。用户可以先加载模型以获得初始结构响应，然后再将其加载到软件中以查看条件响应。另一种常用的方法是将条件应力应变试验数据作为初始响应。然后，用户可以通过单个载荷工况在分析中查看条件响应。
左图：循环加载的单轴拉伸曲线。右图：通过提取并归零循环加载的单轴拉伸数据生成的单次加载简单拉伸曲线。
4. 使用适合您应用的应变水平
弹性体通常具有非常大的应变极限。在选择测试数据以生成材料模型时，用户通常希望选择与其产品将要承受的应变相关的应变数据范围。当然，应变数据不足会带来问题，因为材料模型可能无法预测超出其校准应变范围的响应。然而，数据过多也会带来问题。假设我们预期弹性体在其加载应用中会承受 30% 的应变。如果我们使用高达 300% 应变的测试数据，则可能会因为难以校准且可能产生不稳定响应的数据而给自己增加负担。但是，如果我们只使用高达 50% 应变的数据，校准过程可能就会相对简单、准确且稳定。
