有限元分析中剪切锁定(shear locking)
平面问题的剪切锁定
剪切锁定的实质就是，在理论上没有剪切变形的单元中发生了剪切变形，这个剪切变形也被称为伴生剪切。该现象一般发生在受纯弯状态下，主要的现象是模型弯曲刚度变大，导致变形偏小。如果能直接得到控制微分方程的解析解，则不会出现剪切锁死的现象，但是如果采用有限元方法，由于网格划分则会出现剪切锁死现象，得到的结果将出现误差。
▲图1
如图1(b)所示，这个模型是材料力学中的平截面假定，截面受到弯矩作用发生纯弯变形，上表面受到水平压应力作用，发生收缩变形，下表面受到水平拉应力作用，发生拉伸变形，并且竖线直线长度不变，始终与上下表面垂直。此时没有发生剪切变形，剪应力为0，该截面变形为理论上的纯弯变形。如图1(c)，这个模型是有限元方法截面变形图，可以观察到该截面上表面也是压缩变形，下表面也是拉伸变形，但是竖向直线有了增大或减小，即发生了剪切变形，消耗了部分变形能量，导致单元过硬，弯曲变形减小，与理论计算有所偏差。
有限元方法可以通过细化网格来有效改善剪切锁死现象，通过增加模型的网格密度，特别是在潜在发生剪切锁死的区域进行网格细化，可以提高模型的准确性和稳定性，减少剪切锁死的发生。但是会导致单元节点增大,使计算的工作量大大增加。也可以通过采用缩减积分方法，减少单元的积分点，降低数值计算中的刚度，从而减轻剪切锁死现象的发生。但是如果网格的尺寸不到位，结果的误差还是会比较大，这与有限元的沙漏现象有关。采用非协调单元也是缓解剪切锁死现象的方法，但是在单元形状比较畸形时，计算结果将会出现很大误差。
中厚板问题的剪切锁定
由于Kirchhoff板理论忽略了剪切变形，但要求挠度的导数连续，给构造协调单元带来了不少麻烦。为此，采用考虑剪切变形的Mindlin板理论来克服，即节点转动 和挠度 相互独立。这种方法比较简单，精度较好，并且能利用等参变换，得到任意四边形甚至曲边四边形单元，因而实用价值较高。
▲图2
如图2所示的4结点四边形板单元。根据Mindlin板理论的假设，板内任意一点的位移由三个广义位移 ， 和 完全确定。为了与有限元的结点位移相对应，采用的位移数组为
式中 和 是跟挠度 无关的独立的转角位移。其结点位移数组为
其中，
位移插值
写成矩阵形式
Mindlin板理论考虑了横向剪切变形，因此应变有5个分量，即
写成矩阵形式
其中
而其中的子矩阵为
而相应的应力分量也有5个，它们与应变之间的关系是
式中弹性矩阵为
应力与结点位移之间的关系是
单元刚度矩阵为
由此可知，单元剪切刚度矩阵 是 的函数，而单元弯曲刚度矩阵是 的函数，当板的厚度 与其边长相比变得非常小时，剪切能量占主导地位。这被称为剪切锁定。解决这个问题的一种方法是缩减积分。例如，如果使用8节点四边形单元时，计算弯曲刚度矩阵将使用 个高斯点进行积分，而剪切刚度矩阵则仅使用 进行积分。
