【材料非线性】从名义应力-应变与真实应力-应变的转换，理解 ANSYS 中材料应力-应变关系的输入

在有限元分析时会经常遇到非线性的问题。非线性包括:接触非线性、几何非线性和材料非线性。本文来谈谈ANSYS中材料非线性相关的参数输入问题。

需要指出的是，ANSYS和ABAQUS软件一样，软件中涉及材料非线性(塑性)本构关系输入的是真实应力应变曲线，而不是材料手册或者实验测试的工程应力应变曲线，因此本文理论部分内容摘录了庄茁老师《ABAQUS非线性有限元分析与实例》一书部分内容，有兴趣的朋友可以阅读此书。

--01--

从延性金属的变形说起

在工程中我们遇到材料的非线性问题时，需要在材料的应力应变关系中考虑材料的塑性问题。以金属为例，许多金属在小应变时，应力-应变关系表现出近似线弹性的性质，这时材料刚度可以认为是一个常数，可用杨氏或弹性模量表征，如图1。

图1  线弹性应力应变关系

但在高应力（和应变）情况下，金属开始具有非线性和非弹性的行为，应力-应变关系表现出硬化等特征，我们称其为塑性，如图2。

图2 弹塑性材料在拉伸试验中的名义应力应变关系

通常，如上图所示，材料的塑性行为可以用它的屈服点和屈服后成的硬化来描述。从弹性到塑性行为的转变发生在材料应力一应变关系曲线上的某个确定的点，即所谓的弹性极限或屈服点。在屈服点上的应力称为屈服应力。大多数金属的初始屈服应力为材料弹性模量的0.05%~0.1%。

金属在到达屈服点之前的变形只产生弹性应变，在卸载后可以完全恢复。然而在金属中的应力超过了屈服应力时，将开始产生不可恢复的塑性(永久)变形。与这种永久变形相关的应变，我们称为塑性应变。在屈服后的区域上，由弹性和塑性应变累积形成了金属的总变形。

从图2可以看到，一旦材料屈服，金属的刚度会显著下降，表现为应力-应变曲线的斜率变小。已经屈服了的延性金属在卸载后将恢复它的初始弹性刚度。材料的塑性变形通常会提高材料继续加载时的屈服应力，这一特性称为硬化，见图2。

金属塑性的另一个重要特性是非弹性变形与几乎不可压缩材料的特性相关，模拟这一效应为在弹-塑性模拟中能够应用的单元类型带来了严格的限制。

在拉伸载荷作用下的金属塑性变形可能在材料失效时经历高度局部化的伸长与变细，称为颈缩，如图3。

图3  延性金属拉伸试验中的颈缩现象

我们需要知道，图2的应力-应变曲线是试验测试得出的工程应力应变曲线。相应的应力和应变称为名义应力(nominal stress)和名义应变(nominal strain)。其定义如下:

① 名义应力:变形前每单位面积上的力，即F/Ao，其中，Ao为试件初始截面面积；

② 名义应变: 变形前每单位长度的长度变化，即△L/Lo，其中Lo为试件初始长度。

从图2可以看到，当材料正在发生颈缩时，名义应力远低于材料的极限强度。这种特性是由试件的几何形状、实验本身特点以及使用的应力和应变度量引起的。例如，由相同材料的压缩实验所产生的应力-应变曲线就不会有颈缩区域，因为试件在受压载荷下变形时不会变细。

在有限元分析时，一种描述塑性行为的数学模型应该能够考虑到压缩和拉伸行为的不同，它与结构的几何形状或者施加载荷的特性无关。因此，我们应当将名义应力F/Ao和名义应变△L/Lo的定义替换为新的应力和应变度量形式，让它能考虑到在有限变形中面积的改变。

--02--

材料有限变形下的真实应力-应变的推导

一、真实应力和应变定义

我们知道，当变形量ΔL非常小（ΔL→0）时，材料的总长度L₀与当前长度L的差异才可以忽略（L≈L₀）。此时，无论是拉伸还是压缩，工程应变（ΔL/L₀）和真实应变（ln(L/L₀))的计算结果趋近于相等。因此，为了得到材料的真实应力-应变关系，我们只考虑在极限△L→dL→0的情况下，拉伸和压缩下的应变情况，即：

其中L为当前长度，Lo为初始长度，ε为真实应变(true strain)或对数应变(logarith-mic strain)。

与真实应变共轭的应力为真实应力(true stress)，其定义为:

其中，F为施加在材料上的力，A为当前面积。

从以上定义出发，可考虑到在有限变形中面积的改变，如果画出真实应力对应于真实应变的曲线，在拉伸和压缩的作用下，承受有限变形的延性金属将具有相同的应力-应变行为。

二、真实应力应变与名义应力应变的关系

有限元分析时需要我们在定义材料的塑性数据时，必须采用真实的应力和应变关系，以便正确换算计算数据。但材料实验的数据，如本文第一部分所示，常常是以名义应力和名义应变的值的形式给会出。在这种情况下，必须通过一定的方法将塑性材料的数据从名义应力/应变的值转换为真实应力/应变的值。

为了建立真实应变和名义应变之间的关系，首先将名义应变表示为:

将上式两边同时加上1，并取自然对数可以得到真实应变和名义应变之间的关系为:

由此可以得到当前面积A与初始面积A0的关系:

将上式代入真实应力定义中，可以得到如下关系:

由于L/Lo可以表示为:

将其代入，便可得到真实应力与名义应力和名义应变之间的关系:

--03--

ANSYS workbench中材料塑性应力-应变关系(本构模型)输入

一、ANSYS 中的材料塑性模型

在ANSYS workbench中可以定义多种材料的塑性本构模型，即材料的应力应变关系，如下图所示。

图4 workbench中塑性模型

图4中，chaboche test data下可以输入通过输入单轴塑性应变测试数据（Uniaxial Plastic Strain Test Data）定义非线性随动硬化本构模型，用于描述材料在循环载荷下的弹塑性行为。

图4中，plasticity下可以选用多种软件内置好的材料塑性本构模型或准则:

① Bilinear Isotropic Hardening(双线性等向强化模型)；

② Multilinear Isotropic Hardening(多线性等向强化模型)；

③ Bilinear Kinematic Hardening(双线性随动硬化模型)；

④ Multilinear Kinematic Hardening(多线性随动硬化模型)；

⑤ Chaboche Kinematic Hardening(Chaboche随动硬化模型)；

⑥ Chaboche Kinematic Hardening W/static recovery (带静态回复的Chaboche随动硬化模型)

⑦ Anand Viscoplasticity(Anand粘塑性模型)

⑧ Exponential Visco-Hardening(EVH) Viscoplasticity(指数粘-硬化粘塑性模型)

⑨ Perzyna Viscoplasticity(Perzyna粘塑性模型)

⑩ Peirce Viscoplasticity(Peirce粘塑性模型)

⑪ Gurson model(Gurson损伤模型)

⑫ Hill Yield Criterion(Hill屈服准则)

⑬ Nonlinear Isotropic Hardening Power Law(基于Power函数的非线性等向硬化)

⑭ Nonlinear Isotropic Hardening Voce Law(基于Voce函数的非线性等向硬化)

..........

这些模型的具体内容，我们在后续的文章中讲。

二、材料模型的输入方式

ANSYS workbench中以上本构模型有的可以通过输入材料的关键常数定义，有的需要通过表格输入真实应力-应变的形式定义。如下图:

图5 workbench中本构模型输入方式

本文以常用的Multilinear Isotropic Hardening(多线性等向强化模型)为例，采用表格的形式输入材料的应力应变关系，如下图:

图6 材料的多线性等向强化模型参数输入

可以看到，ANSYS workbench的多线性等向强化模型采用连接给定数据点的一系列直线来平滑地接近材料的应力-应变关系。由于可以采用任意多个点来逼近实际的材料行为，所以就有可能描绘出非常接近真实情况的材料行为。

三、材料应力-应变本构关系的输入

ANSYS软件中将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。因此，图6中第一组数据定义了材料的初始屈服应力，因而其塑性应变值应该为零。

然而在用来定义塑性的材料试验数据中，一般提供的应变很可能是材料的总应变而非塑性应变。所以必须将总应变分解成为弹性和塑性应变两部分。从总应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变。弹性应变定义为真实应力除以杨氏模量的值。其关系式为:

其中:

图7  总体应变分解为弹性和塑性应变分量

总之，在ANSYS中输入材料应力应变关系时需要根据材料的名义应力和名义应变做一些变换处理，方法总结如下:

① 应用真实应力与名义应力和名义应变，以及真实应变与名义应变的关系式(前面已给出)，将名义应力和名义应变转换为真实应力和真实应变。

② 得到真实的应力和应变后，就可以应用塑性应变与真实总应变和弹性应变之间的关系式(前面已给出)来确定与每个屈服应力值相关的塑性应变。

本文前述软件输入数据的转换表，如下所示:

需要注意，以上转换是在小应变假设下，应力应变的真实值和名义值之间的差别很小，但在大应变时，二者之间就有明显的差别。因此，如果在模拟中的应变是比较大的，提供给ANSYS准确的应力-应变数据是极为重要的。