六面体传热单元Matlab有限元编程：三大类边界条件和体积热源（下篇）

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导读：上篇文章《六面体传热单元Matlab有限元编程：三大类边界条件和体积热源（上）》，配合我的视频课程《热传导问题Matlab有限元编程》第5~7讲，继续带大家了解三维传热问题控制方程（三维泊松方程）、单元类型选择（八节点六面体）、形函数构造（自然坐标下的双线性形式）、等参变换的实质（坐标-函数用同一形函数映射）、热导率矩阵和热载荷的积分计算（高斯积分离散有限元积分表达式）、边界条件处理（三类边界在三维表面的积分），以及组装求解的通用流程等内容。由于内容较多，因此分为上下两篇，上篇重点介绍相关的有限元理论及公式的推导，而本篇则侧重编程实现方法。最终保证Matlab传热有限元程序的求解精度对标ANSYS中的solid70单元，误差小于1%。

有限元离散化详细推导

《六面体传热单元Matlab有限元编程：三大类边界条件和体积热源（上）》已经对三维瞬态热传导问题的刚度矩阵、比热矩阵和边界条件有限元积分表达式的推导进行了详细的介绍，因此本节重点对这些积分表达式改写为基于等参单元的离散求和的表达式，为编程做准备。

1.1 单元形函数与等参变换

对于八节点六面体单元，采用等参变换方法，基于等参单元的形函数定义，即在自然坐标系

中，形函数为：

其中

是节点

在自然坐标系中的坐标，取值为±1。

等参单元中形函数的物理意义：形函数

表示节点

对单元内任意点物理量的”贡献权重”，满足：

（克罗内克δ函数）

（单位分解性）

有限元中的等参变换包含物理坐标系和自然坐标系之间的坐标映射和温度场插值，基于此可以推导出偏导数和积分的映射关系。

坐标映射：

温度场插值：

其中：

为形函数矩阵（1×8），

为单元节点温度向量（8×1）

1.2 温度梯度矩阵

温度梯度计算本质上就是物理坐标系和自然坐标系之间偏导数的映射关系：

其中是温度梯度矩阵（3×8），其分量为：

由于形函数定义在自然坐标系中，需要用到雅可比矩阵进行坐标变换：

形函数对物理坐标的导数：

体积微元变换：

其中

是雅可比矩阵的行列式。

1.3 热导率矩阵（刚度矩阵）的离散表达式

热导率矩阵类比结构力学有限元理论中的刚度矩阵，根据变分原理，热传导项贡献的单元矩阵为：

其中

是热导率矩阵，对于各向同性材料：

热导率矩阵

表示单元内部热传导能力，矩阵元素

表示节点

和节点

之间的”热耦合强度”。

为了有限元编程，需要对积分表达式进行离散，在自然坐标系中的离散形式：

其中：

：高斯积分点数量；

：第

个高斯积分点的自然坐标

：对应的积分权重。

1.4 比热矩阵（质量矩阵）的离散表达式

比热矩阵类比结构动力学有限元理论中的质量矩阵，因此在传热学中，只在瞬态热传导问题中起作用，瞬态项贡献的单元矩阵：

表示单元的热容特性，描述温度变化率与热流之间的关系。为了有限元编程，需要对积分表达式进行离散，其离散形式：

1.5 体积热源（热河在）的离散表达式

体积热源可以类比结构力学有限元中的体力载荷：

为了有限元编程，需要对积分表达式进行离散，其离散形式为

其中：

：高斯积分点数量；

为第

个高斯积分点的自然坐标；

：对应的积分权重。

1.6 边界条件载荷向量离散表达式的详细推导

热通量边界条件（第二类边界条件）载荷向量：在边界

上，已知热通量

的边界条件为：

该项在弱形式中贡献的载荷向量为：

表示通过边界流入单元的热流量在节点上的等效分配。

为了有限元编程，需要对积分表达式进行离散，对于边界面的积分，我们需要使用二维高斯积分。假设边界面是六面体单元的一个面，该面有4个节点，我们使用四节点四边形单元的形函数。

设边界面在自然坐标系中的参数为

，则离散形式为：

其中：

：边界面积分的高斯积分点数量；

：边界面上的高斯积分点坐标

：对应的积分权重；

：边界面的雅可比行列式，表示从自然坐标到物理坐标的面积比例关系

对流边界条件（第三类边界条件）的贡献：

在边界

上，对流边界条件为：

该条件贡献两部分：对流矩阵（附加刚度项）和对流载荷向量：

：

：表示对流换热对系统刚度的贡献，增加系统的热交换能力；

：表示环境温度

通过表面对流换热传入单元的热流量在节点上的等效分配

为了有限元编程，需要对积分表达式进行离散，同样使用二维高斯积分：

1.7 最终的系统方程

稳态热传导问题的有限元方程为：

其中：

：整体热导率矩阵（由各单元

组装而成）；

：整体对流矩阵（由边界单元

组装而成）；

：整体节点温度向量；

：整体热载荷向量（包括体积热源、热通量边界、对流边界贡献）

瞬态热传导问题的有限元方程为：

其中

是整体比热矩阵（由各单元

组装而成）。

1.8 第一类边界条件（固定温度边界）的处理

对于固定温度边界条件

，常用的处理方法为直接法（置一法），具体步骤:

对于固定温度节点，设其温度为，
修改整体刚度矩阵；将第行和第列除对角线元素外都设为0 ；将对角线元素设为 1，
修改右端向量：-将设为- 对于其他行：

Matlab 程序实现的完整框架

基于上一节各矩阵的离散表达式，本节罗列了部分离散表达式的matlab计算程序，大家可以对照这些离散表达式和程序来理解其程序化的方法。

2.1 热导率矩阵

function Ke = elementStiffness(nodes, kx, ky, kz, n_gauss)% 计算单元热导率矩阵% nodes: 8x3 节点坐标% kx,ky,kz: 热导率% n_gauss: 高斯积分点数量[gp, gw] = gaussPoints3D(n_gauss);Ke = zeros(8);for i = 1:length(gw)xi = gp(i,1); eta = gp(i,2); zeta = gp(i,3);[N, dNdxi, dNdeta, dN_dzeta] = shapeFunctions3D(xi, eta, zeta);J = [dNdxi'  nodes(:,1), dNdxi'  nodes(:,2), dN_dxi' * nodes(:,3);dNdeta'  nodes(:,1), dNdeta'  nodes(:,2), dN_deta' * nodes(:,3);dNdzeta'  nodes(:,1), dNdzeta'  nodes(:,2), dN_dzeta' * nodes(:,3)];detJ = det(J);invJ = inv(J);% 形函数对物理坐标的导数dNdx = invJ(1,1)dNdxi + invJ(1,2)dNdeta + invJ(1,3)*dNdzeta;dNdy = invJ(2,1)dNdxi + invJ(2,2)dNdeta + invJ(2,3)*dNdzeta;dNdz = invJ(3,1)dNdxi + invJ(3,2)dNdeta + invJ(3,3)*dNdzeta;B = [dNdx'; dNdy'; dN_dz'];D = diag([kx, ky, kz]);Ke = Ke + gw(i)  (B'  D  B)  detJ;end

2.2 比热矩阵

function Ce = elementMass(nodes, rho, c, n_gauss)% 计算单元比热矩阵Ce = zeros(8);[N, ~, ~, ~] = shapeFunctions3D(xi, eta, zeta);J = jacobian3D(xi, eta, zeta, nodes);Ce = Ce + gw(i)  rho  c  (N  N') * detJ;

2.3 体积热源

function FQe = elementHeatSource(nodes, Q, n_gauss)% 计算单元体积热源载荷FQe = zeros(8,1);FQe = FQe + gw(i)  Q  N * detJ;End

2.4 热通量边界载荷

function Fqe = elementHeatFluxBC(faceNodes, qs, n_gauss)% 计算热通量边界载荷% faceNodes: 4x3 边界节点坐标[gp, gw] = gaussPoints2D(n_gauss);Fqe = zeros(4,1);xi = gp(i,1); eta = gp(i,2);[N, ~, ~] = shapeFunctions2D(xi, eta);Js = jacobian2D(xi, eta, faceNodes);detJs = norm(Js);Fqe = Fqe + gw(i)  qs  N * detJs;

以上就是关于六面体单元的有限元方程的推导和编程实现方法。更多内容可参考我的《热传导问题Matlab有限元编程》视频课程！

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来源：仿真秀App

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首次发布时间：2025-10-14

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